Eine algebraische oder logische Eigenschaft einer Klasse (endlicher) Strukturen, die besagt, dass jede endliche partielle Teilstruktur (oder endliche partielle Algebra, die lokal das Diagramm der Klasse erfüllt) in irgendeine endliche volle Struktur der Klasse eingebettet werden kann; informell: endliche konsistente lokale Stücke lassen sich zu endlichen globalen Mitgliedern der Klasse erweitern.

Prinzip

Die ordnende Idee ist ein lokales-zu-globales endliches Erweiterungsprinzip: endliche partielle Konsistenz (keine lokale Widersprüchlichkeit unter endlich vielen Elementen und Relationen) soll innerhalb eines endlichen Modells der gesamten Klasse realisierbar sein, sodass lokale Zwänge keine unendliche Vervollständigung erzwingen.

Demonstration

Beispiel: Bestimmte Varietäten endlicher Algebren und einige Klassen relationaler Strukturen besitzen FEP: Gegeben eine endliche partielle Multiplikationstafel, die mit den Gesetzen einer Booleschen Algebra vereinbar ist, kann man diese partielle Tafel in eine endliche Boolesche Algebra einbetten, was zeigt, dass die partielle Struktur zu einer endlichen vollen Struktur der Klasse erweitert werden kann.

Fehlanwendung

Zu folgern, FEP impliziere, die gesamte Klasse sei endlich axiomatisierbar, entscheidbar oder unter beliebigen Konstruktionen abgeschlossen, ist ein Missbrauch; FEP betrifft nur Einbettbarkeit endlicher partieller Strukturen und liefert nicht automatisch globale algebraische oder algorithmische Eigenschaften.

Konsequenz

Hat eine Klasse FEP, so kann man oft die Überprüfung endlicher Erfüllbarkeit oder lokaler Zwänge auf die Suche nach endlichen Modellen reduzieren, endliche Modelleigenschaften für universelle Theorien ableiten und Transferergebnisse gewinnen, die in Entscheidbarkeits- und Vollständigkeitsargumenten für endliche Modelle nützlich sind.

Umkehrung

Das Versagen von FEP bedeutet, dass es endliche partielle Strukturen gibt, die mit den definierten Relationen verträglich sind, aber in keine endliche volle Struktur der Klasse eingebettet werden können; damit garantiert lokale endliche Konsistenz keine endliche Vervollständigung und das Arbeiten mit endlichen Modellen ist erschwert.

Abgrenzung

Gilt für endliche partielle Teilstrukturen bezüglich einer angegebenen Signatur und Klasse; schließt Aussagen über unendliche partielle Strukturen, Einbettungen in unendliche Modelle und syntaktische Ableitbarkeit außerhalb des spezifizierten algebraischen oder relationalen Rahmens aus.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen FEP und Kompaktheits- oder Abschluss-Eigenschaften: FEP ist ein finitarer Erweiterungsgrundsatz, der mit infinitären Konstruktionen in Konflikt geraten kann, und es tauscht allgemeine modelltheoretische Schließung gegen stärkere Kontrolle über endliche Modelle ein.

Synthese

FEP formalisiert die Idee, dass lokal konsistente endliche Teile einer Struktur innerhalb endlicher globaler Modelle der Klasse realisiert werden können: es ist eine pragmatische Brücke von endlichen lokalen Spezifikationen zu endlichen Realisierungen, wichtig in der algebraischen Modelltheorie und bei der Entscheidbarkeit für endliche Modelle.