Eigenschaft einer Formel oder einer Menge von Formeln, für die keine Interpretation, kein Modell oder keine Zuweisung existiert, die jede Formel der Menge wahr macht; äquivalent dazu hat die Menge keine Modelle.

Prinzip

Eine Menge ist unerfüllbar, wenn die semantischen Bedingungen der Logik jede mögliche Welt oder Struktur ausschließen, die alle Mitglieder gleichzeitig wahr machen würde.

Demonstration

In der Aussagenlogik ist die Menge {p, ¬p} unerfüllbar, weil keine Wahrheitszuweisung p und ¬p zugleich wahr machen kann; in der Prädikatenlogik ist {∀x P(x), ∃x ¬P(x)} in Standardsemantik unerfüllbar.

Fehlanwendung

Eine Theorie wegen fehlender Beweise für einen bestimmten Satz als unerfüllbar zu bezeichnen: Das Fehlen von Herleitungen bedeutet nicht zwangsläufig das Fehlen von Modellen, und Entscheidbarkeitsprobleme können den Erfüllbarkeitsstatus verbergen.

Konsequenz

Unerfüllbarkeit erlaubt Widerspruchsbeweise: das Herleiten eines expliziten Widerspruchs zeigt, dass kein Modell die Prämissen erfüllen kann; sie treibt auch automatisierte Widerlegungsverfahren wie SAT‑UNSAT‑Erkennung an.

Umkehrung

Das Umgekehrte ist Erfüllbarkeit; Unerfüllbarkeit entspricht semantisch der Unmöglichkeit eines Modells, während sie syntaktisch oft mit der Herleitbarkeit eines expliziten Widerspruchs korrespondiert.

Abgrenzung

Unerfüllbarkeit hängt von der Semantik und den Annahmen über den Träger der Modelle ab (z. B. endliche vs beliebige Domänen); parakonsistente Logiken verändern die Verbindung zwischen Widerspruch und Unerfüllbarkeit.

Semantische Spannung

Unerfüllbarkeit vs syntaktische Inkonsistenz: Unerfüllbarkeit ist eine semantische Eigenschaft (kein Modell), Inkonsistenz bezeichnet oft die Ableitbarkeit eines Widerspruchs nach einem bestimmten Schlussbegriff; in sounden und vollständigen Systemen fallen sie zusammen, sonst nicht.

Synthese

Unerfüllbarkeit besagt, dass keine Interpretation existiert, welche alle Formeln wahr macht; sie ist das semantische Zeichen eines Widerspruchs und bildet die Grundlage für Widerlegungsstrategien und Gegenmodell‑Analyse.