Eine logische Konstruktion, die zu Formeln A und B mit A ⊨ B eine Formel I (den Interpolanten) liefert, die von A gefolgt wird, B nach sich zieht und nur die nichtlogischen Symbole verwendet, die in A und B gemeinsam vorkommen.

Prinzip

Wenn A ⊨ B in einer Logik mit Interpolations-Eigenschaft gilt, existiert ein I, das ausschließlich aus dem gemeinsamen Vokabular aufgebaut ist und so A ⊨ I sowie I ⊨ B erfüllt; der Interpolant trennt die von A und B gelieferten Informationen an der Grenze ihrer gemeinsamen Sprache.

Demonstration

In der Aussagenlogik sei A = (p ∧ q) und B = (p ∨ r). Da A B impliziert, ist I = p ein Interpolant: A ⊨ p und p ⊨ B, und I verwendet nur das Symbol p, das in beiden Formeln vorkommt.

Fehlanwendung

Den Interpolanten so zu zwingen, Symbole zu enthalten, die nicht zwischen A und B geteilt werden, oder anzunehmen, ein Interpolant existiere in einer Logik ohne Interpolations-Eigenschaft (etwa in bestimmten nichtklassischen oder erweiterten ersterordnungslogischen Systemen), führt zu fehlerhaften Trennungsbehauptungen.

Konsequenz

Interpolation liefert ein modulares Zeugnis, das die gemeinsame Information zwischen Prämissen und Schluss isoliert; sie bildet die Grundlage für kompositionelle Verifikation, modulare Ontologieabstimmung und bestimmte Zerlegungen in der Modellüberprüfung.

Umkehrung

Fehlt eine nur die gemeinsamen Symbole nutzende trennende Formel (Ausfall der Interpolation), so kehrt sich die Zusicherung um: Man kann den geteilten Inhalt nicht syntaktisch isolieren, obwohl semantisch A ⊨ B gelten mag.

Abgrenzung

Gilt in der Aussagenlogik und der klassischen ersten Ordnung (Craigs Theorem), kann aber in Erweiterungen oder Fragmenten versagen (einige modale, Fixpunkt- oder zweiterordnungslogische Systeme); die Einschränkung bezieht sich auf nichtlogische gemeinsame Zeichen und schließt logische Junktoren und Quantoren aus.

Semantische Spannung

Interpolanten sind zugleich syntaktische Objekte (Formeln aus Symbolen) und semantische Trenner (sie trennen Modelle von A von Gegenmodellen zu B); Spannung entsteht, wenn ein semantischer Trenner existiert, aber keine syntaktische Formel im gemeinsamen Vokabular ihn darstellen kann.

Synthese

Interpolation ist der Prozess, aus einer Folgerung A ⊨ B eine Formel I zu extrahieren, die syntaktisch das gemeinsame Vokabular erfasst, das A von B trennt, wodurch modulares Schließen und Informationskapselung ermöglicht werden, mit der Einschränkung, dass manche Logiken keinen solchen syntaktischen Trenner zulassen.