##  [Réciprocité d'Artin](/fr/node/61426) 

 Définition

Énoncé central de la théorie des corps de classes donnant l'application d'Artin de groupe des idèles d'un corps global sur le groupe de Galois abélien de son extension abélienne maximale, identifiant les extensions abéliennes aux sous-groupes ouverts du groupe des idèles et codant les éléments de Frobenius comme images d'idèles.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Il existe un homomorphisme de réciprocité canonique (application d'Artin) dont le noyau correspond aux normes provenant de l'extension abélienne maximale ; cet homomorphisme est fonctoriel pour les extensions abéliennes finies et respecte la décomposition et l'inertie en les places.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour le corps rationnel Q, le théorème se spécialise en Kronecker–Weber : toute extension abélienne finie de Q est contenue dans un corps cyclotomique et l'application d'Artin identifie les classes de résidus modulo n aux automorphismes de Frobenius pour les premiers premiers à n.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer la réciprocité d'Artin pour décrire des extensions non abéliennes ou s'attendre à une bijection sans passer au quotient approprié du groupe des idèles ; confondre les énoncés de réciprocité locaux et globaux sans ajuster les hypothèses.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Classification complète des extensions abéliennes finies des corps globaux par des sous-groupes des idèles, détermination explicite des conducteurs et lois de réciprocité locales et globales, et cadre pour interpréter les fonctions L abéliennes via les caractères du groupe des idèles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La perspective inverse — reconstruire la structure du groupe des idèles à partir d'un groupe de Galois abélien donné — échoue en général sans données arithmétiques supplémentaires ; les généralisations non abéliennes nécessitent d'autres structures (par exemple le programme de Langlands) plutôt qu'une application de réciprocité directe.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux extensions abéliennes de corps globaux (et, avec adaptations, aux corps locaux) ; ne décrit pas en général les groupes de Galois non abéliens et ne s'applique pas directement aux anneaux arbitraires ou aux corps non globaux.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Une tension existe entre les énoncés de réciprocité locale en chaque place (théorie locale des corps de classes) et la loi de réciprocité globale d'Artin : la même idée de Frobenius se manifeste différemment, et il faut distinguer la formulation globale par classes d'idèles de la formulation locale point par point.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La réciprocité d'Artin regroupe les actions locales de Frobenius en un homomorphisme global des idèles vers le groupe de Galois abélien, établissant un pont classifiant les extensions abéliennes des corps globaux par des sous-groupes arithmétiques du groupe des idèles.