##  [Lemme de Yoneda](/fr/node/61397) 

 Définition

Énoncé de la théorie des catégories qui, pour toute catégorie localement petite C, tout objet A de C et tout foncteur F : C^op → Set, fournit une bijection naturelle entre les transformations naturelles Hom_C(-,A) ⇒ F et les éléments de l'ensemble F(A) ; cette bijection est naturelle en A et en F et induit l'immersion de Yoneda de C dans la catégorie des foncteurs [C^op,Set].

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les objets sont déterminés par la façon dont les autres objets s'y envoient des flèches : sonder A par Hom(-,A) encode ses relations et transforme les transformations naturelles en éléments concrets de la valeur du foncteur en A.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans la catégorie des ensembles, pour A = {0,1} et F = Hom_Set(-,A), une transformation naturelle η : Hom(-,A) ⇒ F correspond exactement à l'élément η_A(id_A) ∈ F(A), montrant explicitement la correspondance. De manière plus abstraite, les préfaisceaux représentables correspondent à leur objet représentant via cette bijection.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre le lemme pour une identification des objets eux‑mêmes plutôt que des applications vers des foncteurs ; par exemple, conclure Hom(-,A) = F comme foncteurs dès qu'un élément coïncide point par point sans vérifier la naturalité ou la bijection entière.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une catégorie s'insère pleinement et fidèlement dans sa catégorie de préfaisceaux par A ↦ Hom(-,A), de sorte que les propriétés invariantes par isomorphisme des objets se lisent sur leurs foncteurs représentables ; de nombreuses preuves d'unicité se réduisent à vérifier l'égalité de transformations naturelles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser la variance : considérer Hom(A,-) (Hom covariant) donne des énoncés analogues mais de variance différente et une immersion différente (C → [C,Set]) — les conditions de naturalité et la structure varient en conséquence.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite une catégorie localement petite pour que les Hom soient des ensembles et des foncteurs à valeurs dans Set ; le lemme s'applique aux transformations naturelles entre préfaisceaux à valeurs dans Set et n'affirme pas en soi que tout préfaisceau est représentable.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre « élément de F(A) » et « transformation naturelle Hom(-,A) ⇒ F » : la tension tient au fait qu'un point semble moins riche qu'une famille naturelle de flèches, pourtant Yoneda montre leur équivalence lorsqu'on impose la naturalité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le lemme de Yoneda réunit l'idée qu'un objet est entièrement encodé par les flèches qui aboutissent en lui : les foncteurs représentables Hom(-,A) servent de sondes qui transforment les transformations naturelles en éléments concrets, assurant une immersion fidèle qui convertit les relations catégoriques en données d'ensembles tout en respectant la naturalité.