##  [Cas Cercle Limite](/fr/node/61379) 

 Définition

Une classification de Weyl pour un point extrême d'une expression différentielle symétrique du second ordre où chaque solution locale est de carré intégrable près de l'extrémité ; dès lors des conditions aux limites supplémentaires en cet extrême sont nécessaires pour obtenir des extensions auto-adjointes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Si toutes les solutions indépendantes appartiennent à L2 près d'un extrême, le défaut à cet extrême entraîne une famille d'extensions auto-adjointes paramétrées par des conditions aux limites ; l'extrémité est dite « cas cercle limite ».

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour L[y] = -y'' + q(x)y sur (a,b), si lorsque x→b toute solution est dans L2(a,b), alors b est cas cercle limite ; un exemple classique est celui de certains potentiels singuliers où la régularité rend les deux solutions de carré intégrable.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter un extrême en cas cercle limite comme cas limite en un point et omettre les données aux limites, ce qui conduit à des extensions auto-adjointes non uniques ou à une caractérisation spectrale incomplète.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Dans le cas cercle limite, il faut choisir des conditions aux limites en l'extrémité (un paramètre ou une forme) pour sélectionner une extension auto-adjointe ; les propriétés spectrales dépendent explicitement de ce choix.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La situation inverse est le cas limite en un point, où au plus une solution L2 survient et aucun paramètre aux limites n'est nécessaire en cet extrême.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Pertinent pour les opérateurs différentiels symétriques du second ordre et la classification de leurs extrémités ; cela ne se généralise pas automatiquement aux cadres non symétriques sans une théorie des défauts comparable.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Peut être confondu avec un extrême régulier où les solutions sont de carré intégrable sans qu'il y ait singularité ; le cas cercle limite renvoie précisément à l'intégrabilité de l'espace des solutions locales en un extrême singulier.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le cas cercle limite signale des extrémités qui imposent un choix de conditions : puisque toute solution locale est dans L2, il faut restreindre le domaine par des conditions aux limites explicites pour obtenir un opérateur auto-adjoint bien défini.