## [Opérateur Elliptique Dégénéré](/fr/node/61369) Définition Un opérateur différentiel dont le symbole principal cesse d'être uniformément positif (ou coercif) sur une région du domaine ou de la frontière — typiquement il s'annule, change de rang ou perd les estimations elliptiques sur un sous-ensemble — de sorte que les hypothèses d'ellipticité uniforme échouent. ## Principe Principe L'ellipticité exige que le symbole principal soit inversible (ou définie positive dans le cas symétrique réel) de manière uniforme ; la dégénérescence est la perte locale ou globale de cette inversibilité ou coercivité, souvent classée par l'ordre et la géométrie de l'annulation du symbole et conduisant à un comportement anisotrope ou à poids. ## Démonstration Démonstration Le modèle de type Grushin L = x^{α} ∂_x^2 + ∂_y^2 sur R^2 (α>0) dégénère en x=0 : le symbole principal s'annule le long de la ligne x=0 dans la direction x, les estimations elliptiques uniformes échouent et la régularité et la propagation deviennent anisotropes de part et d'autre de la dégénérescence. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer des estimations classiques de Schauder, Harnack ou Calderón–Zygmund en supposant l'ellipticité uniforme dans une région où le symbole principal s'annule conduit à des résultats erronés sur la régularité, des bornes a priori fausses et une mauvaise classification du comportement des solutions près de la dégénérescence. ## Conséquence Conséquence La dégénérescence impose l'usage d'espaces de Sobolev ou Hölder à poids, des mises à l'échelle anisotropes, des arguments adaptés par barrières ou principe du maximum, et peut produire une régularité affaiblie, une non-unicité sur les ensembles dégénérés ou des phénomènes de concentration liés à la géométrie de l'annulation. ## Inversion Inversion La situation inverse est la récupération de l'ellipticité uniforme en restreignant aux régions éloignées de la dégénérescence, par régularisation qui élève le symbole au-dessus de zéro, ou par un changement de variables rendant le symbole principal coercif ; la théorie elliptique standard s'applique alors. ## Limite Limite La notion couvre les opérateurs elliptiques linéaires et non linéaires dont le symbole principal perd son inversibilité sur des sous-ensembles (intérieurs ou sur la frontière) ; elle exclut les opérateurs uniformément elliptiques et les situations où seules les termes d'ordre inférieur sont singuliers sans affecter le symbole principal. ## Tension sémantique Tension sémantique Il y a une tension avec l'hypoellipticité et les opérateurs sous-elliptiques : certains opérateurs elliptiques dégénérés sont néanmoins hypoelliptiques (régularisants) tandis que d'autres ne le sont pas ; il faut distinguer dégénérescence de l'ellipticité et sous-ellipticité/hypoellipticité. ## Synthèse Synthèse Un opérateur elliptique dégénéré est un opérateur dont le symbole principal cesse d'être uniformément inversible sur une partie du domaine, exigeant une analyse à poids ou anisotrope et modifiant les conclusions de régularité et de compacité valables en situation uniformément elliptique.