## [Théorème de Cayley–Hamilton](/fr/node/61260) Définition Toute matrice carrée sur un anneau commutatif satisfait son propre polynôme caractéristique : si p(λ) = det(λI - A) est le polynôme caractéristique d'une matrice n×n A, alors p(A) = 0 (la matrice nulle), exprimant une identité polynomiale vérifiée par A. ## Principe Principe Les matrices vérifient leur polynôme caractéristique car cette relation polynomial capture les dépendances algébriques entre les puissances de l'opérateur linéaire ; elle permet de réduire des puissances élevées en expressions polynomiales de degré inférieur en A. ## Démonstration Démonstration Pour une matrice 2×2 A = [[a,b],[c,d]] le polynôme caractéristique p(λ) = λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) et la substitution directe montre que p(A) est la matrice nulle ; concrètement A^2 - (trace A) A + (det A) I = 0. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer Cayley–Hamilton à des matrices non carrées ou considérer que le théorème donne des facteurs du polynôme minimal est incorrect ; de plus, une application naïve sur des anneaux non commutatifs demande de la prudence quant à l'ordre des multiplications. ## Conséquence Conséquence Cayley–Hamilton implique que tout polynôme en A se réduit modulo p à un polynôme de degré < n, ce qui permet de calculer des fonctions de matrices, d'obtenir des formules explicites pour des puissances et d'établir des liens avec le polynôme minimal. ## Inversion Inversion La réciproque n'est généralement pas vraie : satisfaire un polynôme n'identifie pas de façon unique le polynôme caractéristique, car de nombreux polynômes peuvent annuler A ; le polynôme minimal divise le caractéristique mais peut être strictement plus petit. ## Limite Limite L'énoncé classique suppose des matrices carrées sur un anneau commutatif (généralement un corps) ; pour des opérateurs en dimension infinie ou des matrices sur des anneaux non commutatifs, la formulation et la validité exigent des hypothèses supplémentaires. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension entre Cayley–Hamilton comme identité d'annihilation p(A)=0 et le concept distinct de polynôme minimal qui donne le plus petit polynôme annihilant ; distinguer ces notions clarifie la structure spectrale et algébrique. ## Synthèse Synthèse Cayley–Hamilton fournit une relation algébrique concrète pour les opérateurs linéaires : le polynôme caractéristique annule la matrice, condensant l'information algébrique sur A en une identité polynomiale exploitable pour le calcul et l'analyse structurelle.