## [Théorème d'Atiyah–Singer](/fr/node/61258) Définition Pour un opérateur différentiel elliptique sur une variété compacte lisse, le théorème d'Atiyah–Singer affirme que son indice analytique (dimension du noyau moins dimension du conoyau) est égal à un indice topologique calculable à partir des classes caractéristiques de la variété et du symbole de l'opérateur. ## Principe Principe Des invariants analytiques d'opérateurs elliptiques coïncident avec des invariants topologiques des données géométriques sous-jacentes ; l'indice est stable par déformation continue et calculable par des formules en classes caractéristiques. ## Démonstration Démonstration L'indice de l'opérateur de Dirac sur une variété spin compacte vaut le genre  de la variété ; de même, l'indice de l'opérateur de signature recouvre la signature de la forme d'intersection en cohomologie centrale, illustrant l'égalité entre topologie et analyse. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer le théorème à des opérateurs non elliptiques, à des variétés non compactes sans conditions de décroissance, ou à des opérateurs ne satisfaisant pas la propriété de Fredholm conduit à des conclusions incorrectes ; la compacité et l'ellipticité sont essentielles. ## Conséquence Conséquence Le théorème fournit des résultats puissants d'existence et d'obstruction : l'annulation ou non de l'indice implique l'existence de solutions aux EDP, impose des contraintes sur la topologie des variétés et engendre des relations utiles en géométrie et en physique mathématique. ## Inversion Inversion En sens inverse, des calculs topologiques de l'indice prédisent des phénomènes analytiques tels que la dimension des espaces de solutions ; un indice nul suggère un équilibre net entre solutions et obstructions mais n'assure pas que noyau et conoyau soient chacun triviaux. ## Limite Limite Le résultat classique exige des opérateurs elliptiques sur des variétés compactes lisses (éventuellement munies de structures comme un spine) et fait appel à la K-théorie et aux classes caractéristiques ; des généralisations traitent des problèmes aux limites, des contextes non compacts et des familles d'opérateurs. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension entre le point de vue analytique de l'indice de Fredholm et le point de vue topologique algébrique via la K-théorie : le théorème identifie ces invariants a priori distincts, mais le calcul concret exige souvent une traduction entre langages analytiques et topologiques. ## Synthèse Synthèse Atiyah–Singer relie analyse et topologie en égalant l'indice de Fredholm d'opérateurs elliptiques à un indice topologique calculable, offrant un outil profond pour traduire des problèmes d'opérateurs différentiels en calculs de classes caractéristiques et réciproquement.