##  [Lemme d'Urysohn](/fr/node/61254) 

 Définition

Dans un espace topologique normal X, pour deux ensembles fermés disjoints A et B il existe une fonction continue f : X → [0,1] telle que f vaut 0 sur A et 1 sur B ; ceci fournit un séparateur continu entre ensembles fermés.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La normalité (capacité à séparer les fermés par des voisinages ouverts disjoints) permet de construire des applications continues interpolant des valeurs prescrites sur des fermés disjoints, réalisant un phénomène élémentaire de partition de l'unité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans un espace métrique on peut poser f(x) = d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B)) où d est la distance ; cette fonction continue vaut 0 sur A et 1 sur B et illustre le lemme d'Urysohn en présence d'une métrique.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Tenter de construire une telle fonction dans un espace non normal peut échouer ; certains espaces non normaux contiennent des fermés disjoints qu'on ne peut séparer par une fonction continue.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Le lemme d'Urysohn est une étape vers le théorème d'extension de Tietze et les partitions de l'unité : il fournit des fonctions continues concrètes utilisées dans les arguments d'immersion et d'extension en topologie et analyse.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

S'il n'existe aucune fonction continue séparant deux fermés disjoints, l'espace n'est pas normal ; l'échec de la conclusion d'Urysohn sert de certificat de non-normalité.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le lemme exige la normalité de l'espace (T1 et séparation de deux fermés par des voisinages disjoints) ; il n'est pas valable pour les espaces simplement séparés par Hausdorff ni pour des espaces topologiques quelconques sans axiomes de séparation supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le lemme d'Urysohn est proche mais plus restreint que les théorèmes d'extension : il produit un séparateur respectant des valeurs aux bords, tandis que Tietze permet d'étendre des fonctions continues arbitraires depuis un fermé vers tout l'espace normal.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le lemme d'Urysohn traduit la propriété de séparation des espaces normaux en l'existence d'interpolants continus explicites vers [0,1], offrant un outil concret pour séparer et étendre des fonctions en topologie.