##  [Théorème de Stone–Weierstrass](/fr/node/61250) 

 Définition

Un énoncé caractérisant qu'une sous-algèbre A de C(X), l'ensemble des fonctions continues à valeurs réelles sur un espace compact de Hausdorff X, est dense pour la topologie uniforme si et seulement si A contient les constantes et sépare les points de X (avec une condition de *-fermeture pour le cas complexe).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La fermeture algébrique sous les opérations pointwise combinée à la capacité de séparer les points (et d'inclure les constantes) suffit à approcher uniformément toute fonction continue sur des compacts ; la topologie de X et les générateurs algébriques déterminent le pouvoir d'approximation.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le théorème classique de Weierstrass est le cas particulier sur un intervalle : les polynômes forment une algèbre sur [a,b] qui contient les constantes et sépare les points, donc les polynômes sont denses dans C([a,b]) pour la norme uniforme ; Stone généralise ce critère aux espaces compacts de Hausdorff et aux sous-algèbres.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer la densité quand la sous-algèbre ne sépare pas les points, manque de constantes, ou dans le cas complexe n'est pas stable par conjugaison complexe ; présumer que le théorème vaut sur des espaces non compacts ou hors du contexte de la norme uniforme.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des résultats fondamentaux d'approximation : les polynômes, polynômes trigonométriques et autres algèbres concrètes approchent uniformément les données continues, permettant l'approximation spectrale, le calcul fonctionnel et des constructions approchées en analyse.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si les conditions de séparation ou de constantes échouent, l'algèbre n'est pas dense et il existe des fonctions continues qui ne peuvent être approchées uniformément ; de même la non-compacticité peut faire échouer l'approximation uniforme sans contraintes supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un domaine compact de Hausdorff et la norme uniforme (sup) ; des distinctions apparaissent entre les versions réelle et complexe (cette dernière exige la *-invariance), et le résultat ne s'étend pas automatiquement aux espaces non compacts ou non Hausdorff sans modification.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Lié à d'autres théorèmes d'approximation (Muntz, Runge, Korovkin) avec des hypothèses et des conclusions différentes ; la tension apparaît entre les conditions de génération algébrique et les exigences analytiques d'approximation dans divers espaces de fonctions.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Stone–Weierstrass unifie et généralise l'approximation polynomiale en affirmant qu'une algèbre de fonctions continues contenant les constantes et séparant les points (et *-invariante dans le cas complexe) est dense uniformément sur un espace compact de Hausdorff, reliant génération algébrique et approximation analytique.