##  [Valuation P-Adique](/fr/node/61242) 

 Définition

Une fonction v_p qui assigne à chaque entier non nul n l'exposant du premier p qui divise n ; étendue aux rationnels par v_p(a/b)=v_p(a)−v_p(b) et ensuite aux corps et anneaux de valuation pour mesurer la divisibilité p-adique et définir la valeur absolue p-adique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Quantifier la multiplicité du premier p dans une décomposition en facteurs de sorte que v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y) et v_p(x+y)≥min(v_p(x),v_p(y)), ce qui fournit une valuation non archimédienne déterminant une ultramétrique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour p=2, v_2(40)=3 car 40=5·2^3 ; pour la fraction 3/8 on a v_2(3/8)=v_2(3)−v_2(8)=0−3=−3, et la valeur absolue p-adique induite vaut |3/8|_2=2^{3}.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer v_p comme une grandeur archimédienne respectant l'inégalité triangulaire usuelle ou supposer que v_p(x+y)=min systématiquement sans vérifier l'éventuelle annulation qui peut augmenter la valuation.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'utilisation correcte engendre une métrique non archimédienne et la complétion Q_p avec des structures analytiques et algébriques spécifiques ; elle éclaire les principes locaux-globaux et la ramification en théorie des nombres.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer la valuation p-adique par la valeur absolue usuelle donne une métrique archimédienne où les exposants multiplicatifs n'expriment plus la divisibilité et où les propriétés ultramétriques disparaissent.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Définie pour les éléments non nuls des entiers, des rationnels et étendue aux éléments de corps ou d'anneaux de valuation ; n'est pas applicable aux places infinies (archimédiennes) et doit être adaptée aux valuations de rang supérieur ou à groupes valuatifs non discrets.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche de la valeur absolue p-adique et des valuations en géométrie algébrique ; la tension apparaît entre la v_p discrète sur Q et des valuations plus générales de rang un ou supérieur qui enregistrent des données supplémentaires.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La valuation p-adique est la mesure multiplicative et discrète de la divisibilité par un premier p fixé, codant algébriquement les exposants de divisibilité, induisant une norme non archimédienne et guidant l'arithmétique et la topologie locales.