##  [Rétraction par Déformation](/fr/node/61200) 

 Définition

Une homotopie H : X × [0,1] → X qui déforme un espace topologique X sur un sous-espace A telle que H(x,0)=x pour tout x, H(x,1)∈A pour tout x, et H(a,t)=a pour tout a∈A et t∈[0,1] ; autrement dit, une déformation continue de X qui laisse A fixe et aboutit à une rétraction sur A.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Une rétraction par déformation est le témoin concret d'une équivalence d'homotopie entre X et le sous-espace A : l'inclusion A ↪ X devient l'inverse à homotopie de la rétraction finale, si bien que X et A ont le même type d'homotopie et les mêmes invariants liés.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le plan privé de l'origine R^2 \ {0} se rétracte par déformation sur le cercle unité S^1 par l'homotopie radiale H((r,θ),t)=((1−t)r + t,θ) qui fixe les points de S^1 et fait glisser chaque rayon vers le rayon 1, montrant que les π_n du plan privé égalent ceux de S^1.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre rétraction par déformation et simple rétraction (une application continue r : X → A avec r|A = id), ou supposer qu'une rétraction implique une rétraction par déformation, ou encore penser qu'une rétraction par déformation entraîne un homéomorphisme entre X et A.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si A est un rétracte par déformation de X alors l'inclusion induit des isomorphismes sur les groupes d'homotopie et l'homologie singulière ; de nombreux invariants se réduisent à ceux de A, simplifiant calculs et classifications à homotopie près.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le point de vue inverse étudie les espaces qui ne peuvent pas se rétracter sur un sous-espace : un espace peut admettre une rétraction mais pas de rétraction par déformation, ou l'inclusion peut ne pas être une équivalence d'homotopie ; ces inversions montrent que la complexité topologique essentielle subsiste.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite une homotopie continue définie sur tout le produit X × [0,1] et qui fixe A point par point à tout instant. Exclut des notions plus faibles comme les rétractes par déformation fortes imposant des conditions supplémentaires, et n'affirme aucune régularité supplémentaire (lissité) sans structure additionnelle.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondu avec rétraction, rétracte par déformation fort et équivalence d'homotopie ; la rétraction par déformation est plus forte qu'une simple rétraction (elle fournit une homotopie) mais plus faible qu'un homéomorphisme ; il faut préciser la notion employée.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La rétraction par déformation est une déformation continue explicite qui écrase X sur A en fixant A point par point ; elle certifie que X et A partagent le type d'homotopie et permet de remplacer X par le sous-espace plus simple A pour l'étude des propriétés invariantes par homotopie.