##  [Suite Exacte](/fr/node/61134) 

 Définition

Une suite d'objets et de morphismes ...A → B → C... dans une catégorie additive ou abélienne (ou toute catégorie munie de noyaux et d'images) telle qu'en chaque objet l'image de l'application entrante égale le noyau de l'application sortante ; l'exactitude encode des relations algébriques précises.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'exactitude impose une conservation locale de l'information algébrique : rien n'est perdu ni laissé de côté à chaque nœud parce que les images entrantes engendrent exactement les éléments annulés par l'application suivante.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Une suite exacte courte 0 → A → B → C → 0 signifie que la première application est injective, la seconde surjective, et que A s'identifie au noyau de (B→C) ; elle modélise des problèmes d'extensions et fournit des suites exactes longues en homologie après application de foncteurs dérivés.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que toute suite exacte courte se scinde (donc B ≅ A ⊕ C) sans vérifier l'existence d'une application de scindage ; cette erreur ignore les classes d'extension non triviales qui classifient des termes médians non équivalents.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les suites exactes conduisent à des lemmes diagrammatiques (lemme du serpent, lemme des cinq) et permettent d'obtenir des suites exactes longues via des foncteurs homologiques, reliant systématiquement les invariants des objets impliqués.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une suite non exacte où les images sont seulement contenues dans les noyaux sans être égales manque la propriété d'équilibre précis ; cette inexactitude signale des phénomènes de torsion ou d'extension cachés non captés par des applications naïves.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La notion présuppose l'existence de noyaux et d'images ; dans des catégories non additives l'exactitude doit s'interpréter via mono/épi ou autres substituts catégoriques, et le comportement peut différer.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension survient entre l'exactitude comme propriété pointuelle de suites et des notions telles que « foncteur exact » qui préservent les suites exactes ; un foncteur peut être seulement à gauche- ou à droite-exact sans préserver l'exactitude complète.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une suite exacte est une chaîne de morphismes où chaque étape transmet exactement l'image précédente dans le noyau suivant ; cette égalité locale organise extensions, décompositions et calculs homologiques dans de nombreux cadres algébriques.