##  [Complexe de Cochaînes](/fr/node/61132) 

 Définition

Une suite graduée de groupes ou modules de cochaînes C^n munie d'applications de cobord δ^n : C^n → C^{n+1} vérifiant δ^{n+1} ∘ δ^n = 0 ; la cohomologie H^n = ker δ^n / im δ^{n-1} mesure des obstructions duales à l'homologie des chaînes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Dualiser le principe du bord : les cobords composés sont nuls et détectent les cochaînes dont les obstructions s'annulent à une cochaîne exacte près, permettant des invariants cohomologiques et des opérations algébriques comme le produit cup.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le complexe de cochaînes singulier à coefficients dans un groupe abélien associe à chaque n le groupe des fonctions des n-chaînes singulières vers le groupe de coefficients ; son cobord est la transposée du bord singulier et calcule la cohomologie singulière.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que H^n ≅ Hom(H_n) sans hypothèses de finitude ou de coefficients universels, ou dualiser des complexes de chaînes de dimension infinie sans tenir compte des topologies ou des termes Ext.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Des groupes de cohomologie apparaissent avec des structures algébriques naturelles (produit cup, opérations supérieures) qui affinent l'information homologique, permettent des suites spectrales et classifient des extensions ou obstructions.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un complexe de chaînes inverse degrés et flèches : travailler avec les chaînes met l'accent sur les cycles modulo les bords, tandis que les cochaînes privilégient les fonctions sur les chaînes et les opérations algébriques qui augmentent le degré.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini dans des contextes additifs ; lorsque les coefficients ou la dualisation exigent des espaces vectoriels topologiques ou des catégories dérivées, la description naïve en dimension finie doit être raffinée et des structures supplémentaires suivies.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Une tension existe entre les complexes de cochaînes considérés comme objets gradués simples et les algèbres différentielles graduées complètes : l'ajout d'une structure multiplicative modifie les invariants et les constructions disponibles comme les produits et opérations de Massey.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un complexe de cochaînes est le pendant dual, croissant en degré, d'un complexe de chaînes : des cobords dont le carré est nul définissent des groupes de cohomologie qui captent des obstructions et portent des structures multiplicatives utiles en topologie et en algèbre.