##  [Complexe de Chaînes](/fr/node/61130) 

 Définition

Une suite graduée de groupes abéliens ou de modules ...C_n... reliée par des applications bord d_n : C_n → C_{n-1} telles que d_{n-1} ∘ d_n = 0 pour tout n ; utilisée pour définir les groupes d'homologie H_n = ker d_n / im d_{n+1}.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le principe organisateur est « le bord d'un bord est nul » : les applications bord successives composées donnent zéro, ce qui isole les cycles et les bords et permet de quotienter pour former l'homologie.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Le complexe de chaînes singulier d'un espace topologique a C_n engendré par les applications continues du simplexe standard de dimension n vers l'espace, les bords étant induits par la restriction aux faces, conduisant à l'homologie singulière.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Oublier les signes liés au gradulement ou composer des applications au mauvais degré, ou considérer des morphismes de complexes qui sont seulement quasi-isomorphismes comme des isomorphismes de l'homologie sans vérifier les applications induites.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une construction correcte fournit des groupes d'homologie invariants par homotopie, permet des suites exactes longues issues de suites exactes courtes de complexes et facilite le calcul des foncteurs dérivés.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

En inversant les flèches et le graduement on obtient un complexe de cochaînes : les applications de cobord augmentent le degré et la cohomologie résulte des noyaux modulo les images en sens inverse.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige une catégorie additive (généralement groupes abéliens ou modules) pour former noyaux, images et quotients ; les suites non graduées ou les cadres non additifs sortent de cette définition sauf analogie adaptée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Une tension apparaît entre les complexes de chaînes simples et les algèbres différentielles graduées : ces dernières ajoutent une structure multiplicative et des conditions de cohérence supérieures, modifiant les constructions possibles et les invariants.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un complexe de chaînes est un objet gradué additif muni d'applications bord dont le carré est nul ; les cycles et bords ainsi définis fournissent les groupes d'homologie qui codent des informations algébriques et topologiques sur l'objet d'origine.