## [Ultrapower](/fr/node/61034) Définition Une structure obtenue à partir d'une structure M en prenant le produit cartésien M^I de copies de M indexées par un ensemble I puis en quotientant par un ultrafiltre U sur I : les éléments sont des classes d'équivalence de fonctions I → M qui coïncident sur un ensemble appartenant à U. Les ultraproduits et ultrapuisances sont des outils centraux pour produire des extensions élémentaires et des modèles non standard. ## Principe Principe Identifier deux suites (fonctions) f,g : I → M si {i ∈ I : f(i)=g(i)} ∈ U ; interpréter les relations et fonctions pointwise et transférer la vérité via le théorème de Łoś, qui affirme qu'une formule du premier ordre tient dans l'ultraproducte si et seulement si elle est vraie pour la plupart des coordonnées selon U. ## Démonstration Démonstration Étant donnée une structure M, un ensemble d'index I et un ultrafiltre non principal U sur I, former M^I/U. Par le théorème de Łoś, si M satisfait une phrase σ sur un ensemble d'indices appartenant à U, alors la classe [f] satisfait σ dans l'ultrapuissance. Si U est non principal, l'ultrapuissance est généralement une extension élémentaire propre de M et fournit des éléments non standards représentés par des suites non constantes sur des ensembles de U. ## Mauvaise application Mauvaise application Traiter l'ultraproducte comme identique au produit direct ou au quotient par un filtre quelconque ; supposer l'élémentarité sans ultrafiltre ; ignorer le théorème de Łoś et s'attendre à ce que les propriétés pointwise échouent systématiquement. Utiliser un ultrafiltre principal sans remarquer que l'ultrapuissance est alors isomorphe à la structure originale évaluée en ce point d'indexation. ## Conséquence Conséquence Les ultrapuisances procurent des conséquences puissantes à la manière de la compacité : existence de modèles élémentairement équivalents mais plus grands, saturation, préservation des propriétés du premier ordre, et construction de modèles non standards (par ex. analyse non standard). Elles offrent des moyens flexibles de transférer des propriétés locales vers une structure globale via l'ultrafiltre. ## Inversion Inversion Remplacer l'ultrafiltre par un filtre plus grossier ou négliger le quotient ultrafiltre revient au produit complet avec des propriétés logiques très différentes ; inversement, prendre des ultrapuisances successives peut produire des modèles très saturés ou de grande taille tandis que l'annulation du quotient fait perdre l'élémentarité. ## Limite Limite Dépend fondamentalement du choix de l'ultrafiltre ; les ultrafiltres non principaux produisent des extensions propres et de nombreux traits non standards mais exigent des hypothèses d'existence en théorie des ensembles. Les méthodes d'ultrapuissance préservent les vérités du premier ordre mais ne reflètent pas en général des propriétés du second ordre ou des caractéristiques de grands cardinaux de l'ensemble d'indices. ## Tension sémantique Tension sémantique Concurrence avec d'autres techniques de construction de modèles (p. ex. construction de Henkin, constructions allers-retours) : les ultrapuisances sont sémantiques et reposent sur des ultrafiltres et le transfert de Łoś, tandis que d'autres techniques sont syntaxiques ou combinatoires ; la tension survient au moment de choisir des outils pour obtenir l'élémentarité plutôt que des constructions de termes explicites. ## Synthèse Synthèse Une ultrapuissance écrase le produit de nombreuses copies d'une structure via un ultrafiltre pour créer un nouveau modèle dont les propriétés du premier ordre sont gouvernées par le théorème de Łoś ; en choisissant un ultrafiltre adapté on obtient des extensions élémentaires, des modèles saturés ou non standards indispensables en théorie moderne des modèles.