##  [Clôture Définissable](/fr/node/61024) 

 Définition

Pour une structure M et un sous‑ensemble A, la clôture définissable dcl(A) est l'ensemble des éléments de M qui sont spécifiés de manière unique (dans M) par une formule du premier ordre avec paramètres dans A ; équivalemment, ce sont les éléments fixes par tout automorphisme de M qui fixe A point par point.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La dépendance définissable est captée par la définissabilité et l'unicité au premier ordre : un élément appartient à dcl(A) exactement lorsque sa propriété peut s'exprimer de sorte qu'aucun autre élément distinct ne satisfait la même formule définissante avec paramètres en A.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos, la clôture définissable de l'ensemble vide est le corps premier (par exemple Q en caractéristique 0) car ces éléments sont définissables sans paramètres ; en revanche, la clôture algébrique contient des conjugués multiples alors que dcl exige l'unicité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre la clôture définissable avec la clôture algébrique (acl) ou avec la clôture par conséquence syntaxique ; par exemple, supposer que tout élément algébrique appartient à dcl(A) alors qu'il peut avoir plusieurs A‑conjugués et ne se trouver que dans acl(A).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Identifier correctement dcl(A) donne un contrôle sur Aut(M/A), les paramètres canoniques et la définissabilité interne des objets ; c'est central pour des arguments sur l'élimination des imaginaires et sur les éléments « nommés » par A.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réversion oppose dcl à acl : là où dcl exige une spécification unique, la notion contraire (acl) permet un nombre fini de réalisations ; passer de dcl à acl affaiblit l'unicité et admet des orbites finies sous les automorphismes fixant A.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Dépend du langage et de l'expressibilité au premier ordre ; dcl peut diminuer ou augmenter lors d'enrichissements du langage et ne tient pas automatiquement compte des imaginaires sauf si l'on travaille dans M^eq ; il exclut les éléments définissables seulement à choix finis.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la définissabilité (unicité syntaxique) et les notions algébriques de dépendance : dcl est plus fin et plus rigide que acl, et des frictions apparaissent lorsque les intuitions modèle‑théoriques et algébriques de « déterminé par A » divergent.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La clôture définissable de A est l'ensemble des éléments de la structure qui sont déterminés de façon unique par A via des formules du premier ordre : les éléments invariants sous tous les automorphismes fixant A, donnant une notion nette de dépendance définissable.