##  [Élimination de la Disjonction](/fr/node/60938) 

 Définition

Une règle d’inférence (preuve par cas) qui permet de dériver C à partir de A ∨ B conjointement avec une dérivation de C sous l’hypothèse A et une dérivation de C sous l’hypothèse B. Formellement : de A ∨ B, [A ⇒ C], [B ⇒ C] inférer C.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Si une conclusion suit de chacun des disjoncts séparément, et qu’au moins un disjonct est vrai, alors la conclusion est vraie sans condition ; l’élimination de la disjonction transfère des conséquences cas par cas vers une conséquence globale.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Étant donné A ∨ B, supposer A et dériver C ; supposer B et dériver C ; puis libérer les hypothèses pour conclure C. Exemple : de « Il fait soleil ∨ il fait nuageux », et des preuves « si soleil alors pique-nique » et « si nuageux alors pique-nique », conclure « pique-nique ».

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l’élimination de la disjonction sans fournir de dérivations valides séparées pour chaque disjonct, ou l’utiliser avec une disjonction infinie ou mal formée sans montrer que les cas couvrent toutes les possibilités ; l’utiliser aussi pour inférer des informations spécifiques à un cas qui ne sont pas communes à tous les cas.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet un raisonnement rigoureux par cas et l’élimination d’alternatives une fois qu’une conséquence commune est démontrée ; central pour les preuves structurées, le pattern matching en programmation et les tactiques de démonstration automatique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Se contraste avec l’introduction de la disjonction : cette dernière crée une disjonction à partir d’un fait unique, tandis que l’élimination résout une disjonction en une seule conséquence ; une inversion incorrecte tenterait de dériver des disjoncts à partir de la conséquence globale sans justification.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valide dans les systèmes de preuve classiques et intuitionnistes ; dans les cadres constructifs il faut fournir des constructions explicites pour les dérivations à partir de chaque disjonct, et dans des logiques avec un nombre infini de disjoncts ou des alternatives non exclusives il faut veiller à la couverture complète des cas.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

La tension survient entre l’élimination de la disjonction et les lectures non déterministes ou probabilistes de la disjonction : la preuve par cas exige la couverture de toutes les alternatives logiques, tandis que d’autres interprétations peuvent considérer la disjonction comme un choix incertain.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L’élimination de la disjonction est la règle qui réduit une alternative démontrable à une conclusion unique en montrant que chaque cas possible implique cette conclusion ; elle concrétise le raisonnement par cas et est indispensable pour combiner des analyses de cas en résultats inconditionnels.