## [Erreur d'Arrondi](/fr/node/60752) Définition Petites erreurs introduites par l'arithmétique en précision finie lors de la représentation des nombres réels et des opérations arithmétiques ; individuellement négligeables, elles peuvent s'accumuler, s'annuler ou interagir avec des algorithmes pour produire des écarts significatifs par rapport aux résultats exacts. ## Principe Principe La longueur de mot finie et la représentation binaire (ou en base b) imposent une quantification et une troncature ; des opérations algorithmiques (soustraction de grandeurs proches, transformations mal conditionnées, accumulations répétées) amplifient ces minuscules différences en erreurs observables. ## Démonstration Démonstration La sommation d'une longue liste de nombres à signes alternés en simple précision donne un résultat biaisé par rapport à la double précision ; des résolutions itératives linéaires avec matrices mal conditionnées montrent stagnation ou dérive due à l'accumulation des arrondis dans les mises à jour et le calcul des résidus. ## Mauvaise application Mauvaise application Attribuer exclusivement l'échec d'un modèle à l'arrondi sans examiner les erreurs de troncature, de modélisation ou l'instabilité algorithmique ; augmenter la précision aveuglément alors qu'une reformulation algorithmique (par ex. sommation compensée, préconditionnement) serait plus efficace. ## Conséquence Conséquence Reconnaître l'erreur d'arrondi conduit à des choix tels que l'utilisation d'une précision adaptée, d'algorithmes stables, de la sommation compensée, du redimensionnement et de l'amélioration du conditionnement ; l'ignorer peut provoquer des oscillations non physiques, une perte de signification ou un comportement de convergence incorrect. ## Inversion Inversion L'inverse est un comportement arithmétique exact où les effets de la précision finie sont négligeables devant les erreurs de modélisation ou de discrétisation ; les algorithmes numériques se comportent alors de manière déterministe par rapport à la représentation arithmétique. ## Limite Limite S'applique aux calculs en virgule flottante et en virgule fixe dans les simulations, optimisations et algèbre linéaire ; sont exclus les erreurs de modélisation, les erreurs de troncature de discrétisation et les fautes machine (inversions de bit) qui ont des causes et des remèdes distincts. ## Tension sémantique Tension sémantique Souvent confondue avec l'erreur de troncature : la troncature vient de l'approximation d'opérateurs ou de séries, l'arrondi vient de la représentation finie et de l'arithmétique ; les deux interagissent et doivent être équilibrés lors du choix de la précision et des algorithmes. ## Synthèse Synthèse L'erreur d'arrondi est le bruit dû à l'arithmétique en précision finie qui peut croître via des opérations instables ou de longues accumulations ; la limiter exige des algorithmes numériquement stables, une précision appropriée et des pratiques logicielles conscientes des erreurs.