##  [Équation de Korteweg–de Vries](/fr/node/60707) 

 Définition

Équation aux dérivées partielles non linéaire et dispersive (forme canonique u_t + 6 u u_x + u_{xxx} = 0) modélisant des ondes unidirectionnelles longues en eau peu profonde et des ondes solitaires résultant de l'équilibre entre l'effet de non-linéarité et la dispersion linéaire.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'idée organisatrice est qu'une non-linéarité faible, qui tend à aiguiller la forme d'onde, peut être exactement compensée par la dispersion linéaire, qui étale l'onde; cet équilibre génère des ondes solitaires propagatrices stables et, dans le cas intégrable, une suite infinie de quantités conservées.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Obtention comme réduction asymptotique pour ondes longues et faiblement non linéaires à partir de systèmes de type Boussinesq et solution explicite à une seule soliton avec profil en sech^2; applications types : solitons en eau peu profonde et ondes ion-acoustiques en plasma.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer KdV hors de son domaine asymptotique — pour des ondes fortement non linéaires, une propagation bidirectionnelle, des longueurs d'onde courtes ou une structure transversale significative — conduit à des prédictions quantitatives erronées ou qualitativement trompeuses.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Quand elle est applicable, KdV prédit des ondes solitaires persistantes (solitons), des décalages de phase après collision et une hiérarchie de quantités conservées; son intégrabilité permet des méthodes exactes de résolution (diffusion inverse) et une description précise du comportement à long terme.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Remplacer l'équilibre par une dispersion pure (équation linéaire dispersive) supprime la cohérence solitaire; remplacer par une non-linéarité dominante (équation de Burgers sans viscosité) conduit à la formation de chocs au lieu de solitons.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable pour des régimes unidirectionnels, faiblement non linéaires, de longue longueur d'onde et faible amplitude avec dissipation faible; exclut les effets multidimensionnels, la viscosité importante, la dispersion non locale et les régimes nécessitant des corrections d'ordre supérieur.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'idée générale d'une onde solitaire (tout pulse localisé se déplaçant) et la définition technique de soliton (objet ressemblant à une particule avec collisions élastiques provenant de l'intégrabilité); tension aussi entre KdV comme modèle physique et comme prototype mathématique intégrable.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'équation de Korteweg–de Vries est le PDE canonique intégrable qui capture l'équilibre entre non-linéarité faible et dispersion produisant des ondes solitaires unidirectionnelles stables; elle sert à la fois de modèle asymptotique physique (eau peu profonde, plasma) et de prototype mathématique pour la théorie des solitons.