##  [Équation Eikonale](/fr/node/60701) 

 Définition

Une équation aux dérivées partielles non linéaire du premier ordre de la forme |∇u(x)| = f(x) (classiquement |∇T(x)| = 1/c(x)), caractérisant le temps d'arrivée ou la phase d'un front en propagation en reliant la norme du gradient d'un champ scalaire à la vitesse ou à la lenteur spatiale.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Apparaît comme limite haute fréquence (optique géométrique) des équations d'ondes ou à partir de principes variationnels minimisant le temps de trajet ; les solutions encodent des surfaces de temps de parcours dont les caractéristiques suivent des rays déterminés par le champ de vitesse du milieu.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Calcul du temps d'arrivée d'un front sismique dans un modèle de Terre hétérogène en résolvant |∇T(x)| = 1/v(x), les ensembles de niveau représentant la position du front d'onde à différents instants.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Traiter l'équation comme si des solutions classiques et lisses existaient toujours et négliger la théorie des solutions de viscosité, ce qui peut conduire à sélectionner des branches multivaluées non physiques ou à échouer aux caustiques où les caractéristiques se croisent.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des informations géométriques sur la propagation des fronts, les fonctions distance et les cartes de chemin minimal ou de temps de trajet minimal ; les méthodes numériques adaptées produisent des approximations monotones et stables des solutions de viscosité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une équation parabolique ou de diffusion où l'information se propage de façon diffusives plutôt que par fronts nets, entraînant un lissage au lieu de surfaces d'arrivée bien définies ; ou traiter le problème avec des modèles d'ondes complets plutôt qu'avec l'approximation haute fréquence.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Valable comme description d'ordre dominant pour les ondes haute fréquence et la propagation de fronts lorsque la phase varie rapidement par rapport à la longueur d'onde ; exclut les effets de dispersion ou de diffraction et nécessite des conditions aux limites/initiales appropriées et le concept de solution de viscosité pour la bien-posabilité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation classique du gradient point par point et le cadre faible/solutions de viscosité requis pour l'unicité ; aussi entre les approximations d'optique géométrique basées sur l'équation eikonale et les modèles d'onde complets qui incluent amplitude et interférences.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Équation Eikonale est la PDE de l'optique géométrique qui relie la norme du gradient d'une phase ou d'un champ de temps de parcours à la lenteur locale, produisant des ensembles de niveau représentant des fronts propagés ; son emploi correct exige la sélection de solutions de viscosité et la conscience de sa limitation aux régimes non dispersifs d'ordre dominant.