##  [Inégalité de Chebyshev](/fr/node/60614) 

 Définition

Une borne probabiliste indépendante de la loi qui affirme que, pour toute variable aléatoire de moyenne finie μ et de variance finie σ² non nulle, la probabilité que la variable s'écarte de sa moyenne d'au moins k écarts-types est au plus 1/k², pour k>0.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un compromis moyenne-variance : la variance contrôle la probabilité maximale des queues sans aucune hypothèse sur la forme de la distribution.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une variable aléatoire X de moyenne μ et de variance σ², appliquer l'inégalité de Markov à la variable non négative (X−μ)² donne P(|X−μ| ≥ kσ) ≤ E[(X−μ)²]/(k²σ²) = 1/k². Cela vaut que X soit continu, discret ou à queues lourdes tant que σ² est finie.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer l'inégalité de Chebyshev pour affirmer un comportement précis des queues pour de petits k ou pour des lois connues pour être à queues fines ; ou l'utiliser lorsque la variance est infinie ou non définie, rendant la borne sans sens.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une borne supérieure simple et indépendante du modèle sur les probabilités de queue et une garantie de base pour la concentration fondée sur la variance ; elle sert souvent à justifier des intervalles de confiance prudents en l'absence d'informations sur la loi.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser l'énoncé montre qu'une décroissance rapide des queues (par exemple exponentielle) entraîne des bornes beaucoup plus fortes que 1/k² ; Chebyshev représente donc l'extrémité faible et indépendante de la distribution de la gamme des inégalités de concentration.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite une variance finie et une moyenne significative ; elle n'est ni précise ni informative pour de petits k, pour des variables à variance infinie, ou quand des moments d'ordre supérieur sont disponibles.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

S'oppose à des inégalités de concentration plus fines (Hoeffding, Chernoff, bornes sous-gaussiennes) qui supposent davantage de structure : Chebyshev échange la force de la conclusion contre des hypothèses minimales.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'inégalité de Chebyshev relie un seul moment d'ordre deux à une borne garantie sur la probabilité de déviation : c'est la borne universelle et la plus faible qui découle de la connaissance uniquement de la moyenne et de la variance.