##  [Largeur N de Kolmogorov](/fr/node/60587) 

 Définition

Pour un ensemble compact F dans un espace linéaire normé et un entier n, la largeur n de Kolmogorov est la moindre erreur d'approximation au pire cas possible lorsqu'on projette les éléments de F sur n'importe quel sous-espace linéaire de dimension n ; formellement d_n(F)=inf_{V, dim V=n} sup_{f in F} dist(f,V).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Organiser la qualité d'approximation par l'erreur minimax sur tous les sous-espaces linéaires de dimension n : choisir le sous-espace linéaire qui minimise la distance maximale de F à ce sous-espace.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Approcher la boule unité d'un espace de Sobolev par un sous-espace polynomial de dimension n : la largeur n décroît à une vitesse fixée par la régularité et la dimension ambiante, donnant une borne concrète sur l'erreur en norme suprémum pour toutes les fonctions de la boule.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer la largeur n de Kolmogorov pour évaluer des schémas d'approximation non linéaires (réseaux de neurones, dictionnaires adaptatifs) comme s'ils étaient limités à des sous-espaces linéaires ; cela sous-estime la puissance des méthodes non linéaires.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une petite largeur n implique que F peut être approximé uniformément par des modèles linéaires de faible dimension, conduisant à la compression, à la réduction de modèles et à des garanties d'erreur déterministes au pire cas pour les approximations linéaires.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser la perspective en fixant l'erreur d'approximation et en demandant le n minimal pour l'atteindre ; comparer avec les largeurs duales (par ex. largeurs de Gelfand) qui mesurent l'approximation via des fonctionnelles linéaires plutôt que par des sous-espaces.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux sous-espaces linéaires et aux erreurs au pire cas (suprémum) dans une norme donnée ; les valeurs dépendent fortement de la norme, requièrent la compacité ou la précompacité de F pour être finies, et ne décrivent pas l'approximation aléatoire ou en moyenne.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Conflit avec des mesures d'approximation non linéaire (dimension de variété, largeurs non linéaires) et avec des notions duales comme les largeurs de Gelfand ; les termes proches peuvent confondre linéarité, erreur au pire versus en moyenne, ou dépendance à la norme ambiante.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La largeur n de Kolmogorov mesure la compressibilité linéaire au pire cas d'un ensemble compact dans une norme donnée : c'est l'infimum sur les sous-espaces de dimension n de la distance maximale de l'ensemble au sous-espace, fournissant une mesure précise du pouvoir d'approximation linéaire.