##  [Équation Intégrale de Fredholm](/fr/node/60500) 

 Définition

Une équation intégrale dont le domaine d'intégration est fixe et indépendant du point d'évaluation, typiquement ∫_{a}^{b} K(x,y)φ(y) dy = f(x) (premier type) ou φ(x) − λ∫_{a}^{b} K(x,y)φ(y) dy = f(x) (second type), conduisant souvent à des opérateurs compacts sur des espaces de fonctions.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Des limites d'intégration fixes produisent des opérateurs globaux dont les propriétés spectrales sont analysables ; sous des hypothèses de carré-intégrabilité ou de continuité sur K, l'opérateur est généralement compact, ce qui engendre spectres discrets et théorie de Fredholm (indice, alternative).

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple classique : équation de Fredholm au second type φ(x)=f(x)+λ∫_{0}^{1} K(x,y)φ(y) dy ; si K est continue sur [0,1]^2, l'opérateur intégral est compact sur C[0,1], permettant développements en autofonctions et discrétisation numérique par méthodes de Nyström.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer l'inversibilité ou l'existence de solutions pour un λ quelconque sans vérifier le déterminant de Fredholm ou l'indice ; traiter des noyaux ne satisfaisant pas les hypothèses de compacité comme si la théorie de Fredholm s'appliquait, aboutissant à des conclusions spectrales erronées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Quand les conditions de Fredholm sont remplies, on dispose d'une théorie de résolution bien établie : noyaux de dimension finie, alternative de Fredholm reliant homogène et non homogène, et stabilité par perturbation qui soutient l'approximation numérique par discrétisations de rang fini.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Contrairement aux problèmes de Volterra, les équations de Fredholm sont globales et ne permettent pas une simple marche avant temporelle ; leur inversion dépend d'informations spectrales globales et peut présenter des noyaux non triviaux ou des résonances pour certaines valeurs de paramètres.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La désignation Fredholm s'applique aux équations intégrales à intégrales sur domaines fixes et aux opérateurs satisfaisant des hypothèses de type compacité ; elle exclut les problèmes à limites variables (Volterra) et les opérateurs dont le spectre essentiel est incompatible avec les propriétés de Fredholm.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre équations de Fredholm et formulations intégrales sur le bord : les deux produisent des opérateurs compacts pour des problèmes elliptiques, mais diffèrent par le domaine (volume vs frontière) et par le traitement des noyaux singuliers et des conditions de saut.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une équation intégrale de Fredholm est une relation intégrale à limites fixes définissant un opérateur linéaire global souvent compact sur des espaces fonctionnels ; la théorie de Fredholm fournit alors spectre discret, indice et résultats de solvabilité qui fondent les stratégies analytiques et numériques.