##  [Ω-Catégoricité](/fr/node/60479) 

 Définition

Propriété d'une théorie du premier ordre (dans un langage dénombrable) indiquant qu'elle possède un seul modèle de cardinalité dénombrable à l'isomorphisme près.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Détermination structurelle complète au niveau dénombrable : la théorie fixe le type d'isomorphisme de tout modèle dénombrable, de sorte que les modèles dénombrables ne peuvent pas différer de manière essentielle.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

La théorie des ordres linéaires denses sans extrémités (le type d'ordre des rationnels) est ω-catégorique parce que tout ordre linéaire dense dénombrable sans extrémités est isomorphe aux rationnels, d'où l'unicité du modèle dénombrable à isomorphisme près.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre ω-catégoricité avec la catégoricité pour cardinaux non dénombrables ou supposer que ω-catégoricité implique l'unicité des modèles de toutes les tailles infinies ; la ω-catégoricité ne contrôle que le cas dénombrable.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Forte classification des ensembles et des types définissables dans les modèles dénombrables : les théories ω-catégoriques ont des groupes d'automorphismes bien structurés et admettent souvent des descriptions combinatoires finies des n-types, facilitant l'analyse model-théorique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'opposé consiste à avoir de nombreux modèles dénombrables non isomorphes ; une théorie peut être complète tout en admettant un grand nombre (même le continu) de modèles dénombrables non isomorphes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Formulée généralement pour des langages dénombrables et concernant des modèles de cardinalité ℵ0 ; elle n'affirme rien sur les modèles de cardinalités non dénombrables ni sur les présentations calculables sauf si des hypothèses supplémentaires sont posées.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec la catégoricité en cardinaux supérieurs : la ω-catégoricité porte sur l'unicité en taille dénombrable, tandis que d'autres notions (p. ex. κ-catégoricité) traitent d'autres cardinalités et peuvent se comporter très différemment.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La ω-catégoricité signifie que la théorie détermine complètement la classe d'isomorphisme de ses modèles dénombrables ; c'est une forte rigidité au niveau ℵ0 qui donne un contrôle serré sur la structure définissable tout en laissant le comportement aux cardinaux supérieurs indépendant.