##  [Noyau](/fr/node/60475) 

 Définition

Pour un homomorphisme entre structures algébriques (ou une application linéaire entre espaces vectoriels), le noyau est le sous-ensemble du domaine envoyé sur l'élément neutre (ou zéro) du codomaine ; il mesure l'échec de l'injectivité du morphisme.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Recueillir les éléments qui s'annulent sous l'application : le noyau est un sous-objet (sous-groupe, sous-espace, idéal, sous-groupe normal) stable par les opérations du domaine et caractérise les classes de congruence menant aux quotients.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si f : G → H est un homomorphisme de groupes, ker(f) = {g ∈ G | f(g) = e_H} est un sous-groupe normal de G ; le premier théorème d'isomorphisme identifie alors G/ker(f) à l'image f(G), montrant comment le noyau contrôle l'injectivité.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre noyau et image ou supposer qu'un noyau trivial implique la surjectivité ; un noyau trivial signifie injectivité (aucun élément non trivial n'est envoyé sur l'identité) mais n'indique pas si l'application atteint tous les éléments du codomaine.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Détermine des propriétés d'exactitude dans les suites, permet la formation de structures quotient où le noyau devient la classe zéro, et fournit un invariant algébrique classifiant les homomorphismes à isomorphisme près.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'idée duale est le conoyau (catégorique ou en théorie des modules), qui mesure l'échec de la surjectivité en quotientant le codomaine ; le noyau se concentre sur l'injectivité et les préimages de l'identité.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Défini pour les morphismes qui préservent l'identité/zéro dans les catégories algébriques ; pour des fonctions arbitraires on peut considérer la préimage d'un élément choisi mais sans propriétés de fermeture algébrique le terme « noyau » perd son contenu structurel.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre noyau et espace nul/idéau d'annulation selon les contextes : ils sont analogues mais portent une structure dépendant du contexte (p.ex. sous-groupe normal vs idéal vs sous-espace linéaire) qu'il faut respecter.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le noyau est le sous-ensemble structuré des éléments du domaine envoyés sur l'identité (ou le zéro) du codomaine, essentiel aux questions d'injectivité, de formation de quotients et d'exactitude, et adapté à la catégorie algébrique du morphisme.