## [Immersion](/fr/node/60459) Définition Une application lisse f : M -> N entre variétés différentiables dont la différentielle df_p est injective en tout point p de M ; localement l'application insère les espaces tangents et place M dans N sans pli infinitésimal, bien que des auto-intersections globales puissent apparaître. ## Principe Principe L'injectivité de la différentielle est la règle organisatrice : une immersion préserve l'information de dimension locale (rang = dim M) et fournit localement un plongement des espaces tangents ; son existence et son comportement sont contraints par des inégalités de dimensions et la classe de différentiabilité. ## Démonstration Démonstration Un exemple élémentaire est l'immersion en huit de S^1 dans R^2 donnée par une application périodique lisse appropriée ; un autre est l'inclusion d'une sous-variété, qui est une immersion et devient un plongement lorsque l'inclusion est injective et un homéomorphisme sur son image. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que toute immersion est un plongement est une erreur fréquente : une immersion n'est pas nécessairement globalement injective ni propre, donc des affirmations nécessitant un homéomorphisme sur l'image (par exemple pour transférer des invariants topologiques globaux) peuvent échouer. ## Conséquence Conséquence Employée correctement, une immersion garantit des cartes coordonnées locales sur l'image et permet de tirer en arrière tenseurs et formes différentielles ; elle soutient des constructions reposant sur un plongement local, comme les arguments de transversalité et certaines techniques de chirurgie. ## Inversion Inversion L'opposé conceptuel est constitué par les applications à différentielles dégénérées (points critiques) ou par les submersions : au lieu de l'injectivité sur les tangentes, on étudie la surjectivité (comportement de projection) ou l'échec de l'injectivité menant à des singularités. ## Limite Limite L'immersion s'applique dans la catégorie lisse/différentiable avec un foncteur tangent bien défini ; elle exclut les plongements purement topologiques ou les injections continues dépourvues de structure différentiable et dépend de la classe de différentiabilité (C^k, C^, etc.). ## Tension sémantique Tension sémantique L'immersion est en tension avec le plongement : les deux sont des notions locales d'« insertion » d'une variété dans une autre, mais le plongement ajoute l'injectivité globale et la compatibilité topologique ; elle concurrence aussi la notion plus faible de homéomorphisme local en topologie. ## Synthèse Synthèse Une immersion est l'insertion locale, au niveau différentiel, d'une variété dans une autre : elle assure un comportement tangentiel injectif en tout point, permettant d'identifier localement le domaine dans le codomaine tout en autorisant des pathologies globales telles que l'auto-intersection.