##  [Endomorphisme](/fr/node/60455) 

 Définition

Un morphisme d'un objet vers lui-même : f : X → X. À la différence d'un automorphisme, un endomorphisme n'est pas nécessairement inversible ; les endomorphismes sont étudiés comme des opérateurs algébriques sur l'objet et forment un monoïde pour la composition.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les endomorphismes codent des transformations internes qui préservent la structure de l'objet sans forcément admettre d'inverse ; la composition fournit une structure algébrique (monoïde ou anneau) capturant l'action itérée et les combinaisons linéaires lorsque cela est pertinent.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Les opérateurs linéaires sur un espace vectoriel V (applications linéaires V → V) sont des endomorphismes ; l'ensemble End(V) de ces applications est un anneau lorsque V est sur un corps, muni de l'addition et de la composition.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer qu'un endomorphisme est inversible ou traiter tout endomorphisme comme « préservant la structure » au sens vague en négligeant des compatibilités requises (pour des catégories enrichies ou contraintes supplémentaires).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les endomorphismes fournissent les opérateurs algébriques de base pour étudier la dynamique, les invariants et les décompositions (valeurs propres, sous-espaces invariants) ; leur structure algébrique soutient l'analyse spectrale et représentationnelle.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un automorphisme est un endomorphisme inversible ; supprimer l'inversibilité élargit le comportement aux transformations nilpotentes, idempotentes ou non diagonalisables.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Endomorphisme désigne tout auto-morphisme dans la catégorie ambiante ; le fait qu'il fournisse une structure algébrique supplémentaire (anneau, algèbre) dépend des enrichissements comme une structure additive ou une multiplication scalaire sur les ensembles Hom.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Endomorphisme versus application auto quelconque : dans des cadres concrets il faut vérifier la préservation de la structure (linéaire, continue, homomorphisme d'algèbre) — toute application du seul ensemble sous-jacent n'est pas un endomorphisme.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un endomorphisme est une auto-flèche catégorique exprimant une transformation interne permise d'un objet ; pris collectivement, ils forment des structures algébriques qui encodent l'itération, les décompositions et les propriétés opératorielles de l'objet.