## [Automorphisme](/fr/node/60453) Définition Un isomorphisme d'un objet vers lui-même : un morphisme bijectif préservant la structure a : X → X possédant un inverse a^{-1}, représentant une symétrie ou une auto-équivalence de l'objet. ## Principe Principe Les automorphismes sont les auto-applications inversibles qui préservent toute la structure de l'objet ; ils forment un groupe pour la composition (le groupe d'automorphismes) et codent les symétries internes. ## Démonstration Démonstration Une rotation de 90 degrés d'un carré considéré comme objet géométrique est un automorphisme ; un opérateur linéaire bijectif sur un espace vectoriel est un automorphisme dans la catégorie des espaces vectoriels. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier d'automorphisme toute bijection des ensembles sous-jacents alors qu'elle ne respecte pas la structure supplémentaire (opérations d'anneau, topologie), ou confondre endomorphismes non inversibles avec des automorphismes. ## Conséquence Conséquence Les automorphismes organisent les problèmes de classification : les objets se décomposent souvent en orbites sous le groupe d'automorphismes et les invariants sont des fonctions constantes sur ces orbites ; les groupes d'automorphismes mesurent la symétrie et la rigidité. ## Inversion Inversion Un endomorphisme dépourvu d'inverse n'est pas un automorphisme ; la perte d'inversibilité fait disparaître la structure de groupe et de nombreuses conclusions sur la symétrie. ## Limite Limite Les automorphismes exigent la préservation de la structure que la catégorie encode (opérations algébriques, topologie, ordre) ; un même ensemble sous-jacent peut avoir moins d'automorphismes lorsque la structure est renforcée. ## Tension sémantique Tension sémantique Automorphisme versus permutation : une permutation de l'ensemble sous-jacent n'est pas nécessairement un automorphisme à moins de préserver la structure ; tension également entre automorphismes intérieurs et extérieurs en contexte algébrique. ## Synthèse Synthèse Un automorphisme est un auto-morphisme inversible saisissant une symétrie réelle de l'objet : en tant qu'éléments d'un groupe ils organisent les auto-équivalences de l'objet et déterminent invariants et orbites.