##  [Épimorphisme](/fr/node/60451) 

 Définition

Un morphisme e : A → B qui est cancellatif à droite : pour toute paire de morphismes parallèles g,h à codomaine Y, ge = he implique g = h. Il abstrait l'idée d'une application surjective préservant la structure dans de nombreuses catégories concrètes, mais dépend de la catégorie considérée.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un épimorphisme ne peut pas être distingué à droite par postcomposition : si deux morphismes sont égaux après composition avec un epi, ils étaient déjà égaux ; dans Ens toute application surjective est un epi, mais la réciproque et les analogues dépendent de la catégorie.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

La projection canonique p : Z → Z/nZ est un épimorphisme dans Ens car composer deux fonctions qui coïncident sur Z/nZ par p donne l'égalité ; les applications quotient dans les catégories algébriques sont des exemples typiques d'epis lorsqu'elles sont surjectives au sens sous-jacent.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre qu'épimorphisme signifie toujours surjectif dans toutes les catégories, ou que tout epi admet une section (inverse à gauche) ; dans certaines catégories algébriques les épimorphismes ne sont pas pointuellement surjectifs ou ne se scindent pas.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les epis servent de quotients catégoriques et sont au cœur des constructions de coégaliseurs ; identifier les epis clarifie quand un morphisme impose des identifications maximales dans son codomaine.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un morphisme non épimorphe peut être distingué par une postcomposition appropriée : il existe des g,h distincts tels que ge ≠ he, donc e n'impose pas les identifications requises sur le codomaine.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'épimorphisme est défini uniquement par l'annulation des flèches à droite et n'est pas automatiquement une surjection point par point sauf dans des catégories comme Ens ; son comportement dépend des axiomes catégoriques ambiants.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Épimorphisme versus surjection : dans Ens ils coïncident, mais dans d'autres catégories ils divergent ; tension aussi avec 'épimorphisme régulier' ou 'épimorphisme scindé' qui ajoutent des propriétés (coégaliseur, section) absentes de la définition brute.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un épimorphisme est la notion catégorique d'une flèche qui impose des identifications dans le codomaine de sorte que des post-compositions distinctes ne peuvent être rendues égales par composition avec elle : dans de nombreux cadres concrets cela coïncide avec une application surjective, mais le concept porte fondamentalement sur la cancellabilité à droite.