##  [Monomorphisme](/fr/node/60449) 

 Définition

Un morphisme m : A → B dans une catégorie qui est cancellatif à gauche : pour toute paire de morphismes parallèles g,h de domaine X, mg = mh implique g = h. Il généralise la notion d'application injective préservant la structure dans les catégories concrètes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les monomorphismes préservent la possibilité de distinguer des flèches vers leur domaine : composer deux flèches distinctes par un mono ne peut pas les rendre égales ; dans Ens cela correspond à l'injectivité des fonctions.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'injection i : S → T d'un sous-ensemble S ⊆ T est un monomorphisme car deux applications vers S qui diffèrent restent différentes après inclusion ; dans la catégorie des modules, une application linéaire injective est un mono.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre qu'un monomorphisme se scinde toujours (possède une inverse à gauche) ou que monomorphisme et injectivité coïncident dans toutes les catégories ; dans certaines catégories un mono n'est pas un plongement des ensembles sous-jacents et peut échouer à se scinder.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les monomorphismes se comportent comme des plongements : ils identifient un sous-objet à isomorphisme près et permettent de construire des sous-objets et des limites ; des chaînes de monos décrivent des filtrations ou des treillis de sous-structures.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un morphisme non monomorphe peut écraser des morphismes entrants distincts lors de la composition, il ne reflète donc pas fidèlement les distinctions entre applications vers son domaine.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le monomorphisme est une condition purement catégorique et ne doit pas être confondu avec l'injectivité point par point sauf dans les catégories définies sur des ensembles ; l'interprétation dépend de la catégorie ambiante et de son égalité des flèches.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Monomorphisme versus application injective : dans les catégories concrètes ils coïncident souvent mais pas toujours ; tension aussi entre 'mono comme sous-objet' et 'mono comme flèche cancellative' en contexte abstrait.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le monomorphisme est l'abstraction catégorique d'un plongement injectif : c'est un morphisme cancellatif à gauche qui identifie, lorsque cela a du sens, un objet comme sous-objet tout en respectant l'égalité des flèches de la catégorie.