## [Homéomorphisme](/fr/node/60439) Définition Une bijection continue entre deux espaces topologiques dont l'inverse est aussi continue ; elle établit une équivalence topologique qui préserve les ouverts, les propriétés de continuité et les invariants topologiques. ## Principe Principe S'il existe une bijection bicontinue entre deux espaces, ils sont équivalents en tant qu'espaces topologiques : toutes les propriétés invariantes par déformation continue (connexité, compacité, genre) correspondent via l'application. ## Démonstration Démonstration L'exemple classique est l'équivalence topologique entre une tasse à anse et un tore : il existe une déformation continue réversible qui les transforme l'un en l'autre sans rompre la continuité, de sorte qu'ils sont homéomorphes et possèdent le même genre (un trou). ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer qu'une bijection continue quelconque est un homéomorphisme sans vérifier la continuité de l'inverse — par exemple l'application identité de R avec la topologie usuelle vers R avec la topologie à base d'intervalles semi-ouverts peut être continue dans un sens mais pas dans l'autre, donc pas homéomorphisme. ## Conséquence Conséquence Quand des espaces sont homéomorphes, leurs invariants topologiques coïncident et l'on peut transporter applications continues, arguments de compacité et propriétés de séparation à travers l'homéomorphisme ; intuitivement, ils ont la même « forme » topologique. ## Inversion Inversion Une application bijective continue dont l'inverse n'est pas continue montre l'absence d'équivalence topologique malgré l'injection-surjection ; de telles applications ne préservent pas la structure des ouverts dans les deux sens. ## Limite Limite L'homéomorphisme se limite à la catégorie topologique : il ignore des structures supplémentaires comme la différentiabilité ou la métrique. Deux variétés homéomorphes ne sont pas nécessairement difféomorphes, et les propriétés métriques peuvent différer. ## Tension sémantique Tension sémantique L'homéomorphisme se situe entre des équivalences plus grossières (surjections continues, équivalence par homotopie) et des équivalences plus fines (difféomorphisme, isométrie) ; la tension apparaît quand il faut choisir si l'on s'intéresse à la forme par déformation continue ou à une structure géométrique plus fine. ## Synthèse Synthèse Un homéomorphisme est une bijection bicontinue qui identifie deux espaces topologiques comme équivalents pour la topologie en préservant l'ouvert, la continuité et les invariants topologiques.