## [Perte de Compacité](/fr/node/60435) Définition Un mode d'échec dans lequel une suite bornée dans un espace de fonctions ne contient pas de sous-suite convergente fortement en raison d'effets de translation, de concentration ou d'oscillation ; la seule bornitude est insuffisante pour assurer la précompacité dans des domaines de dimension infinie ou non compacts. ## Principe Principe La compacité exige à la fois le contrôle des normes et le contrôle de la concentration/fuite à l'infini et de l'oscillation ; la perte survient lorsque la masse se translate à l'infini, se concentre à des échelles qui tendent vers zéro ou oscille de plus en plus vite, ne produisant au mieux qu'une convergence faible. ## Démonstration Démonstration Perte par translation : u_n(x)=u(x-n) dans L^p(R) est bornée mais n'a pas de sous-suite fortement convergente. Concentration : u_n(x)=n^{1/2} φ(n x) concentre la masse en un point et échoue à converger fortement. Oscillation : sin(n x) sur un intervalle borné converge faiblement vers 0 mais pas fortement en L^2. ## Mauvaise application Mauvaise application Employer des arguments fondés sur la compacité (p. ex. extraire des sous-suites fortement convergentes) sans vérifier la propriété de tightness, l'invariance par translation ou l'équirégularité uniforme ; appliquer naïvement Rellich sur des domaines non compacts ou sous changement d'échelle. ## Conséquence Conséquence La reconnaissance de la perte conduit à des décompositions concentration-compacité, des décompositions de profils, la compacité compensée, ou au travail avec des notions de convergence plus faibles (faible, mesure, mesures de Young) et à l'introduction de paramètres de modulation pour restaurer la compacité modulo invariances. ## Inversion Inversion La compacité garantit que toute suite bornée possède une sous-suite fortement convergente pour la topologie choisie, souvent grâce aux théorèmes d'injection accompagnés du contrôle des translations et des échelles. ## Limite Limite Concerne la compacité fonctionnelle dans des espaces de Banach ou Hilbert et les injections (Rellich, Aubin) ; exclut le cadre de dimension finie où la bornitude implique la précompacité et les situations où des contraintes additionnelles (périodicité, décroissance, symétrie) restaurent la compacité. ## Tension sémantique Tension sémantique Concurrence avec la convergence faible : la perte de compacité permet souvent des limites faibles, d'où la tension entre attendre une convergence forte ou accepter seulement des limites faibles ou en mesures ; se relie aussi aux mécanismes de concentration vs oscillation. ## Synthèse Synthèse La perte de compacité est le phénomène par lequel la bornitude n'engendre pas de limites fortes sub-séquentielles parce que la masse s'échappe, se concentre ou oscille ; y remédier exige des décompositions, la modulation par invariances ou l'adoption de concepts de limite plus faibles.