## [Point de Branchement](/fr/node/60411) Définition Un point du domaine d'une fonction complexe multivaluée où la continuation analytique le long de boucles fermées autour du point donne des valeurs différentes (monodromie non triviale), de sorte qu'aucune branche à valeur unique ne peut être définie sur un voisinage contenant une boucle entourant le point. ## Principe Principe Le point de branchement est le lieu d'une monodromie non triviale : la continuation analytique autour du point permute les valeurs de la fonction ou les feuilles de la surface de Riemann associée, imposant des choix de branche ou le recours à un revêtement. ## Démonstration Démonstration La fonction f(z) = sqrt(z) possède un point de branchement en z = 0 car la continuation analytique d'une valeur choisie de la racine carrée autour d'un circuit entourant 0 change de signe ; il faut deux circuits pour revenir à la valeur initiale. ## Mauvaise application Mauvaise application Traiter un point de branchement comme une singularité supprimable ou comme un point ordinaire et tenter de définir une valeur analytique unique sur un voisinage percé sans préciser de branche conduit à des contradictions lors de la continuation. ## Conséquence Conséquence La présence d'un point de branchement impose soit de supprimer des boucles fermées du domaine (coupures de branche), soit d'utiliser une surface de Riemann à plusieurs feuilles ; les définitions globales et les intégrales doivent tenir compte de la monodromie et des choix de branche. ## Inversion Inversion Si la continuation analytique autour du point laisse les valeurs invariantes, le point est ordinaire (sans branchement) ; l'absence de monodromie est la situation inverse d'un point de branchement. ## Limite Limite Les points de branchement concernent la multivaluation due à des dépendances algébriques ou logarithmiques pour les fonctions d'une variable complexe ; ils sont distincts des pôles, des singularités essentielles et des phénomènes d'accumulation en plusieurs variables. ## Tension sémantique Tension sémantique Il faut distinguer le point de branchement de la coupure de branche : le point de branchement est l'obstruction intrinsèque en un lieu, alors que la coupure est un choix extrinsèque dans le domaine pour éviter les boucles ; il faut aussi différencier des singularités isolées qui modifient la magnitude sans altérer la structure des feuilles. ## Synthèse Synthèse Un point de branchement est un lieu où la continuation analytique provoque une monodromie non triviale d'une fonction multivaluée, imposant des branches ou un revêtement pour retrouver une unicité des valeurs et modifiant la manière de définir intégrales et continuations.