##  [Élimination des Imaginaires](/fr/node/60396) 

 Définition

Propriété d'une théorie selon laquelle chaque classe d'équivalence définissable (un « imaginaire ») peut être codée par un tuple d'éléments réels (des sortes de base), de sorte que chaque imaginaire possède un paramètre canonique dans les sortes réelles et qu'aucune sorte imaginaire supplémentaire n'est nécessaire.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La règle organisatrice est que les quotients définissables admettent des représentants définissables dans les sortes ordinaires : pour tout ensemble définissable X et relation d'équivalence définissable E sur X il existe une fonction définissable f:X→M^n telle que x E y ssi f(x)=f(y), fournissant des paramètres canoniques pour les classes d'E.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une relation d'équivalence définissable E sur un ensemble définissable X, l'élimination des imaginaires fournit un codage définissable f:X→M^n. Par exemple, dans une structure où l'on dispose de tuples nommés on peut prendre f qui renvoie un représentant choisi ; plus généralement, on démontre que de nombreuses théories bien comportées éliminent les imaginaires éventuellement après ajout d'un nombre fini de paramètres canoniques ou de sortes auxiliaires.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre l'élimination des imaginaires avec l'affirmation plus forte que tout ensemble définissable est interdéfinissable avec un unique tuple réel, ou négliger que certaines théories exigent l'ajout de quelques sortes pour obtenir EI ; supposer que EI tient automatiquement conduit à des identifications incorrectes de paramètres canoniques.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

EI simplifie la gestion de la définissabilité et des paramètres canoniques, permet un traitement plus net des imaginaires en théorie de la stabilité et de la simplicité, et rend souvent plus transparentes les arguments d'internalité et d'analysabilité.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'absence d'EI signifie qu'il existe des classes d'équivalence définissables qui ne peuvent être codées par des tuples réels ; on travaille alors en ajoutant des sortes imaginaires ou en étudiant des formes plus faibles comme l'élimination faible des imaginaires ou l'élimination des imaginaires finis.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Notion relative à la définissabilité du premier ordre et aux quotients définissables ; elle peut nécessiter l'introduction d'un nombre fini de nouvelles sortes pour être satisfaite, et se distingue de l'élimination des hyper‑imaginaires (qui concerne des relations d'équivalence type‑définissables plutôt que définissables).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre EI et des notions plus faibles (EI faible, élimination des imaginaires finis) et entre le travail dans les sortes de base et l'enrichissement du langage par des sortes ; le choix influence les arguments sur les paramètres canoniques et la commodité formelle.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Élimination des Imaginaires exige que chaque quotient définissable soit représentable par un tuple réel, fournissant des paramètres canoniques dans les sortes ordinaires et simplifiant les arguments de définissabilité et de classification en évitant la prolifération des sortes imaginaires.