## [Lemme des Cinq](/fr/node/60350) Définition Un résultat de diagramme-chasing en algèbre homologique : dans un diagramme commutatif constitué de deux suites exactes A1→A2→A3→A4→A5 et B1→B2→B3→B4→B5 avec des flèches verticales f_i: A_i→B_i, si f1, f2, f4 et f5 sont des isomorphismes et que les hypothèses de surjectivité/injectivité requises sont satisfaites, alors f3 est un isomorphisme. ## Principe Principe L'exactitude combinée à la commutativité permet de propager l'information locale sur quatre morphismes voisins pour contraindre l'inversibilité du morphisme central en chassant noyaux et images dans le diagramme. ## Démonstration Démonstration En topologie algébrique, comparer les suites exactes longues d'un couple (X,A) et d'un couple (Y,B) induites par une application (X,A)→(Y,B). Si les quatre applications extérieures induites en homologie sont des isomorphismes et que la surjectivité/injectivité requise tient aux degrés adjacents, le Lemme des Cinq implique que l'application induite au degré central est un isomorphisme. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer le lemme lorsque les suites ne sont pas exactes, lorsque le diagramme n'est pas commutatif, ou lorsque les applications supposées sont seulement des bijections d'ensembles (pas des homomorphismes de groupes/modules) : tout cela invalide la chasse des noyaux/images et conduit à des conclusions erronées. ## Conséquence Conséquence On peut promouvoir des isomorphismes locaux en un isomorphisme global au milieu d'une suite exacte, ce qui simplifie les preuves d'équivalence d'objets dérivés ou d'homologie sous une application. ## Inversion Inversion La réciproque est en général fausse : le fait que le morphisme central soit un isomorphisme n'implique pas que les quatre morphismes extérieurs le soient. Une inversion partielle est fournie par le Four Lemma, qui obtient injectivité ou surjectivité d'un morphisme à partir de celles des autres, mais pas l'isomorphisme total. ## Limite Limite Nécessite l'exactitude au sens de catégories abéliennes (ou au moins des suites exactes en groupes/modules), la commutativité stricte du diagramme et les hypothèses spécifiques de surjectivité/injectivité ; il ne s'applique pas tel quel en cadres non abéliens sans conditions supplémentaires. ## Tension sémantique Tension sémantique Lié au Snake Lemma et au Nine Lemma ; le Lemme des Cinq vise l'isomorphisme central, tandis que le Snake Lemma construit des morphismes de connexion et des suites exactes à partir de noyaux et conoyaux : mêmes techniques, finalités distinctes. ## Synthèse Synthèse Le Lemme des Cinq est un instrument de diagramme-chasing : sous exactitude et commutativité, le motif d'isomorphismes et de morphismes à sens unique autour d'une flèche centrale force celle-ci à être un isomorphisme, permettant de déduire l'équivalence d'objets centraux à partir d'équivalences aux bords.