##  [Théorème Intégral de Cauchy](/fr/node/60318) 

 Définition

Théorème fondamental de l'analyse complexe qui affirme que l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe autour de toute courbe fermée dans une région simplement connexe est nulle ; équivalemment, les intégrales sont indépendantes du chemin et il existe des primitives locales.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'holomorphie implique des primitives locales ; dans des domaines simplement connexes cela s'étend globalement de sorte que les intégrales le long de boucles fermées s'annulent et que l'intégrale ne dépend que des points d'extrémité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si f est holomorphe sur un domaine simplement connexe D et γ est toute courbe fermée par morceaux dans D, alors ∮_γ f(z) dz = 0. Par exemple, l'intégrale de e^z autour de toute boucle fermée dans C est nulle car e^z est entière.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème quand le domaine n'est pas simplement connexe ou lorsque f a des singularités à l'intérieur de la courbe (p.ex. intégrer 1/z autour d'une boucle entourant 0), ou négliger l'orientation et l'hypothèse de courbe par morceaux lisse.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Conduit directement à la formule intégrale de Cauchy (valeurs et dérivées obtenues par intégrales de contour), aux développements en séries de puissances, à la continuation analytique et à la théorie des résidus lorsque des singularités sont présentes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une intégrale curviligne non nulle pour un intégrande apparemment holomorphe signale l'échec des hypothèses : soit l'intégrande n'est pas holomorphe sur la région (il y a des singularités à l'intérieur), soit la courbe n'est pas homologiquement nulle dans le domaine.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige l'holomorphie sur et à l'intérieur de la région délimitée par la courbe (ou que la courbe soit null-homotope dans le domaine) et des chemins fermés par morceaux lisses ; ne s'applique pas aux fonctions méromorphes avec pôles à l'intérieur sans tenir compte des résidus.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec les intégrales de ligne en variables réelles où l'exactitude dépend de champs conservatifs et de la topologie du domaine ; en analyse complexe l'holomorphie est plus contraignante et produit des identités intégrales rigides absentes en contexte réel.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Théorème Intégral de Cauchy relie la régularité holomorphe locale au comportement intégral global : dans des domaines simplement connexes, les intégrales sur contours fermés s'annulent, fondant les outils centraux comme la formule intégrale et les développements en séries.