##  [Théorème Fondamental de L'Algèbre](/fr/node/60295) 

 Définition

Énoncé affirmant que tout polynôme non constant à coefficients complexes possède au moins une racine complexe ; de manière équivalente, tout polynôme de degré n sur C se factorise en n facteurs linéaires en comptant les multiplicités.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La clôture algébrique du corps des complexes garantit que les équations polynomiales admettent des racines : la structure algébrique et la complétude de C imposent la factorisation en facteurs linéaires.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : le polynôme p(z)=z^2+1 admet pour racines i et −i, et le polynôme z^3−1 se factorise en (z−1)(z−e^{2πi/3})(z−e^{4πi/3}), illustrant l'existence des racines et la factorisation complète.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le théorème sur R pour prétendre que tout polynôme réel a une racine réelle ; par exemple x^2+1 n'a pas de racine réelle. Autre abus : affirmer l'existence systématique d'une expression fermée pour les racines alors qu'une telle formule n'existe pas en général.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Tout polynôme sur C se réduit en facteurs linéaires, ce qui entraîne l'existence des valeurs propres des matrices complexes, la factorisation complète et de nombreux résultats structurels en algèbre et en analyse.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Sur un corps qui n'est pas algébriquement clos comme R, des polynômes non constants peuvent être privés de racines ; inverser l'énoncé met en évidence que la clôture algébrique est l'hypothèse essentielle.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux polynômes à coefficients complexes et de degré ≥1. Ne concerne pas les polynômes constants, les polynômes sur des corps non clos algébriquement, ni l'existence de formules constructives pour les racines.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le théorème garantit l'existence mais n'aborde pas la calculabilité ou l'expressibilité en forme fermée des racines : tension entre existence théorique et méthodes effectives.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème fondamental de l'algèbre identifie C comme corps algébriquement clos pour les polynômes en une variable : l'existence d'au moins une racine conduit à la factorisation linéaire complète et soutient de nombreuses conclusions en algèbre et analyse.