##  [Théorème de Cantor–Bernstein–Schroeder](/fr/node/60291) 

 Définition

Théorème affirmant que si existe une injection de A dans B et une injection de B dans A, alors il existe une bijection entre A et B ; l'embeddabilité réciproque implique l'équipotence.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Les immersions mutuelles peuvent être combinées en une bijection en décomposant les éléments en chaînes ou orbites sous les compositions des injections et en définissant soigneusement un appariement sur ces composantes ; l'égalité des cardinalités suit des injections réciproques sans recourir au choix.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour montrer que Z et 2Z (entiers et entiers pairs) ont la même cardinalité, donner des injections Z → 2Z (n ↦ 2n) et 2Z → Z (inclusion) ; Cantor–Bernstein–Schroeder garantit alors une bijection entre Z et 2Z même si une bijection explicite simple existe aussi.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que l'existence d'injections dans une seule direction suffit pour une bijection, ou tenter d'appliquer le théorème à des classes propres sans vérifier les hypothèses de théorie des ensembles ; l'utiliser pour prétendre à la canonicité de la bijection plutôt qu'à son existence simple.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit un outil solide pour comparer les cardinalités : il fait de la relation « il existe une injection » un ordre partiel dont l'antisymétrie est représentée par des bijections ; il est fondamental en arithmétique des cardinaux et en théorie combinatoire des ensembles.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si des injections n'existent pas dans les deux sens, Cantor–Bernstein–Schroeder n'apporte aucune conclusion ; la non-embeddabilité mutuelle n'implique pas une inégalité stricte des cardinalités sans structure ou preuve supplémentaire.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige de véritables injections entre ensembles ; il ne construit pas de bijection canonique en général et s'applique aux ensembles (et non aux classes arbitraires) dans les cadres habituels de la théorie des ensembles.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent mis en balance avec le Théorème De Cantor : CB–S peut établir l'égalité à partir d'injections mutuelles tandis que le Théorème de Cantor garantit des inégalités strictes pour les ensembles de parties ; les deux coexistent sans contradiction mais opèrent sur des phénomènes différents (immersion réciproque versus non-surjectivité diagonale).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Cantor–Bernstein–Schroeder transforme l'embeddabilité injective réciproque en une bijection, permettant d'établir l'égalité des cardinalités à partir de deux immersions unilatérales et affirmant que l'embeddabilité mutuelle est la bonne notion d'égalité de taille en théorie des ensembles.