##  [Lemme de Zorn](/fr/node/60285) 

 Définition

Principe de la théorie des ensembles qui affirme : si un ensemble partiellement ordonné possède la propriété que tout sous-ensemble totalement ordonné (chaîne) admet une borne supérieure dans l'ensemble, alors l'ensemble ordonné contient au moins un élément maximal (un élément qui n'est strictement inférieur à aucun autre).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Transfert du local au global : l'existence de bornes supérieures pour les chaînes entraîne l'existence d'éléments maximaux ; principe non constructif équivalent à l'Axiome du Choix dans la théorie ZF.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Utilisé pour prouver que tout espace vectoriel possède une base : considérer l'ensemble partiellement ordonné des sous-ensembles linéairement indépendants par inclusion ; l'union d'une chaîne est une borne supérieure, donc le Lemme de Zorn fournit un ensemble linéairement indépendant maximal qui engendre l'espace, donc une base.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer le Lemme de Zorn alors que certaines chaînes n'ont pas de borne supérieure, ou confondre élément maximal et maximum ; attendre un témoin canonique ou constructible plutôt qu'une simple existence.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Assure l'existence d'idéaux maximaux dans les anneaux, de bases dans les espaces vectoriels, de bases de Hamel en dimension infinie, et d'autres résultats d'existence non constructifs ; équivalent à l'Axiome du Choix, il soutient de nombreuses preuves algébriques et d'ordre.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La négation de l'hypothèse de Zorn donne des posets où certaines chaînes n'ont pas de borne supérieure et où l'on ne peut pas conclure à l'existence d'éléments maximaux ; l'absence du lemme permet des modèles de ZF avec un comportement d'existence différent.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux ensembles partiellement ordonnés et exige que chaque chaîne possède une borne supérieure à l'intérieur du même poset ; il ne fournit pas de construction explicite de l'élément maximal et ne s'applique pas directement aux classes propres sans formulation supplémentaire.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Étroitement lié au Théorème Du Bon Ordre et à l'Axiome Du Choix (équivalents dans ZF), mais formulé comme un principe d'existence d'ordre plutôt que comme une assertion de choix ou d'ordre ; souvent confondu avec la maximalité finie ou avec l'existence d'un maximum.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Lemme De Zorn transforme une condition de bornes supérieures pour chaque chaîne en la garantie d'un élément maximal : un outil d'existence non constructif équivalent au choix et largement employé pour obtenir des maxima en algèbre et en théorie de l'ordre.