##  [Axiome du Choix](/fr/node/60284) 

 Définition

Principe selon lequel pour toute collection d'ensembles non vides il existe une fonction (fonction de choix) choisissant un élément de chaque ensemble ; énoncé comme axiome en théorie des ensembles pour assurer l'existence sans fournir de règle constructive.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'AC permet de passer de l'existence d'ensembles non vides à l'existence d'un sélecteur global ; elle est non constructive et équivalente dans ZF à plusieurs énoncés puissants (par exemple le lemme de Zorn, le théorème du bon ordre) mais indépendante des axiomes ZF eux-mêmes.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Avec l'AC on montre que tout espace vectoriel possède une base : en choisissant à chaque étape un élément en dehors de l'enveloppe linéaire (ou via le lemme de Zorn), on obtient une base de Hamel même pour des espaces de dimension infinie où la construction explicite peut être impossible.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que l'AC procure des choix constructifs ou effectifs est incorrect ; confondre le choix dénombrable avec l'AC pleine ou utiliser l'AC naïvement en contextes constructifs ou computationnels conduit à des conclusions erronées sur le plan algorithmique.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Adopter l'AC donne de nombreux résultats d'existence : existence d'ultrafiltres non principaux, bons ordres de tout ensemble, idéaux maximaux dans les anneaux et preuves s'appuyant sur le lemme de Zorn ; elle permet aussi l'existence d'objets pathologiques comme des ensembles non mesurables.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La négation de l'AC mène à des modèles de théorie des ensembles où certains théorèmes d'existence usuels échouent (par exemple, des espaces vectoriels sans base, ou des produits d'ensembles non vides pouvant être vides) et où de nombreuses équivalences classiques se désagrègent.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'AC se formule dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles (ZF) ; des formes affaiblies (choix dénombrable, choix dépendant) et des formulations plus fortes existent et ont des conséquences mathématiques distinctes ; son applicabilité dépend de la position fondationnelle (classique vs constructive).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre l'AC et les mathématiques constructives : l'AC affirme l'existence sans recette, en contradiction avec des principes constructifs ; il existe aussi une tension entre l'AC pleine et des principes de choix plus faibles utilisés en analyse ou topologie.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'Axiome du Choix est un principe fondamental d'existence qui affirme l'existence d'un sélecteur global pour des familles arbitraires d'ensembles non vides ; il permet de démontrer de nombreux résultats classiques (souvent via le lemme de Zorn), reste non constructif et indépendant de ZF, et son adoption détermine quels objets sont garantis d'exister.