##  [Dimension de Recouvrement](/fr/node/60268) 

 Définition

La dimension de recouvrement (ou dimension de recouvrement de Lebesgue) d’un espace topologique X est le plus petit entier n≥0 tel que tout recouvrement ouvert de X admette un raffinement ouvert dont l’ordre est au plus n+1 (aucun point n'appartient à plus de n+1 éléments) ; si un tel n n'existe pas, la dimension est infinie.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Fondée sur l’ordre de recouvrement des raffinements d’un recouvrement ouvert : la dimension mesure combien de voisinages locaux doivent se chevaucher pour couvrir l’espace ; c’est un invariant topologique préservé par les homéomorphismes et stable sous de nombreuses constructions en théorie de la dimension.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

R^n a pour dimension de recouvrement n : tout recouvrement ouvert admet un raffinement d’ordre n+1 en utilisant des partitions de l’unité ou des cartes coordonnées. Les espaces totalement disconnexes comme l’ensemble de Cantor ont dimension de recouvrement 0 car chaque point admet des voisinages clopen arbitrairement petits qui ne se chevauchent pas.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre la dimension de recouvrement avec les dimensions métriques (Hausdorff, Minkowski) — un ensemble peut avoir dimension topologique 0 et une dimension de Hausdorff positive ; ou supposer que la dimension de recouvrement est stable par applications continues arbitraires (elle ne l'est pas, seulement par homéomorphismes et certains quotients).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit une notion topologique grossière de dimension utilisée en théorie des variétés, dans les résultats de classification et la théorie des obstructions ; les variétés topologiques de dimension n sont localement homéomorphes à R^n, et la dimension de recouvrement contraint l'existence d'immersions, d'immersions embeddings et de bornes cohomologiques.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser la notion consisterait à mesurer la multiplicité d'intersection minimale nécessaire en considérant des recouvrements qui se chevauchent de façon arbitraire ; cette perspective mène à des notions de complexité de recouvrement élevée plutôt qu'à des modèles locaux de faible dimension.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S’applique aux espaces topologiques généraux mais est la plus informative pour les espaces séparables, paracompacts ou métriques ; elle ignore l’échelle métrique et les caractéristiques mesurables et peut diverger d’autres notions de dimension sur des espaces pathologiques.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec les dimensions métriques (Hausdorff, Minkowski) : la dimension de recouvrement est purement topologique et entière, tandis que les dimensions métriques captent l’échelle et peuvent être non entières ; les deux renseignent sur des aspects géométriques différents d’un ensemble.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La dimension de recouvrement est l’entier minimal n qui contrôle le recouvrement local par voisinages : un invariant topologique classifiant les espaces selon le nombre de voisinages qui doivent se chevaucher localement, distinct des notions métriques ou fractales.