## [Caractère de Densité](/fr/node/60260) Définition La plus petite cardinalité d'un sous-ensemble dense d'un espace topologique ou métrique ; c'est un invariant cardinal qui indique à quel point un ensemble dense peut être petit. ## Principe Principe Un sous-ensemble est dense si son adhérence est l'espace entier ; minimiser la cardinalité de tels ensembles fournit le caractère de densité, qui mesure dans quelle mesure l'espace est « approximable » par peu de points. ## Démonstration Démonstration Exemples : les rationnels forment un sous-ensemble dense dénombrable de la droite réelle, donc le caractère de densité de R (avec la topologie usuelle) est ℵ0 ; un espace discret de cardinal κ a caractère de densité κ car aucun sous-ensemble strictement plus petit n'est dense. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre caractère de densité et séparabilité (ils coïncident lorsque le caractère est dénombrable mais le terme est à valeur cardinale) ou mêler densité et poids ou dimension topologique ; supposer qu'une petite densité entraîne un petit poids est généralement faux. ## Conséquence Conséquence Le caractère de densité détermine la séparabilité et influence des propriétés fonctionnelles et métriques (par ex. l'existence d'ensembles denses dénombrables permet d'approcher les points par des suites) ; il sert à borner d'autres invariants et à classer les espaces en analyse et topologie. ## Inversion Inversion Considérer les ensembles denses nuls (nowhere dense) ou la notion de maigreur souligne la propriété opposée : un espace ayant une grande structure de parties nowhere dense peut avoir un petit caractère de densité mais rester topologiquement « fin » sous d'autres aspects. ## Limite Limite Défini pour les espaces topologiques ou métriques au moyen de l'adhérence ; il ne saisit pas la complexité locale interne comme le caractère en un point ou le poids de réseau et est insensible à la distribution des ensembles denses, seulement à leur cardinal minimal. ## Tension sémantique Tension sémantique Le caractère de densité chevauche séparabilité, poids et invariants liés aux réseaux ; la tension consiste à utiliser la densité (mesure d'approximation par des points) versus les tailles de bases ou de sous-bases (mesures de la complexité des ouverts). ## Synthèse Synthèse Le caractère de densité est le nombre minimal de points nécessaires pour constituer un sous-ensemble dense : un invariant cardinal mesurant avec quelle économie l'espace peut être approché par un ensemble dense, central pour la séparabilité et les arguments d'approximation.