## [Poids Topologique](/fr/node/60258) Définition La plus petite cardinalité d'une base pour une topologie sur un ensemble donné ; c'est un invariant cardinal qui mesure la « taille » d'une topologie en termes de familles d'ouverts génératrices. ## Principe Principe Une base génère une topologie par unions, donc minimiser la cardinalité d'une telle famille génératrice saisit la complexité combinatoire minimale nécessaire pour retrouver la topologie ; le poids est ce cardinal minimal. ## Démonstration Démonstration Exemples : un espace discret sur un ensemble de cardinal κ a pour poids κ car chaque singleton doit figurer dans une base ; la droite réelle avec sa topologie usuelle a pour poids ℵ0 (elle est deuxième dénombrable) ; beaucoup d'espaces métriques séparables ont un poids dénombrable, tandis qu'un produit de continuum d'espaces non triviaux peut avoir un poids très grand. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre le poids avec le caractère de densité ou avec la cardinalité de la topologie elle‑même ; supposer qu'un petit poids implique un petit ensemble sous-jacent (un grand ensemble peut porter une topologie de petit poids) ou que le poids reste invariant sous des constructions sans vérifier les conditions. ## Conséquence Conséquence Le poids contraint les propriétés d'injection et d'immersion : les espaces de petit poids s'immergent dans des produits d'un nombre borné d'espaces simples et satisfont certaines conséquences de séparabilité et de type Lindelöf ; il est central dans la classification par invariants cardinaux. ## Inversion Inversion Considérer des bases maximales plutôt que minimales ou passer à d'autres invariants (par ex. réseau minimal ou caractère en un point) donne des mesures de taille topologique mettant en évidence d'autres aspects structurels. ## Limite Limite Défini uniquement pour les espaces topologiques ; il porte sur les bases (familles dont les unions produisent tous les ouverts) et exclut donc les notions basées sur des sous-bases ou des descriptions purement catégorielles sauf lorsqu'on les traduit en cardinalités de bases. ## Tension sémantique Tension sémantique Le poids se situe à la frontière du caractère de densité, du nombre de Lindelöf et du caractère : la densité mesure la taille des sous-ensembles denses, le poids mesure les familles génératrices, et ces grandeurs peuvent diverger ; les distinguer est crucial pour classifier les espaces. ## Synthèse Synthèse Le poids topologique est le nombre minimal de pièces d'ouverts de base nécessaires pour générer la topologie, un invariant cardinal qui quantifie la complexité combinatoire de la topologie et qui interagit avec la séparabilité, les bases et les plongements.