##  [Connexion de Galois](/fr/node/60249) 

 Définition

Une paire d'applications monotones entre ensembles partiellement ordonnés, l'une étant adjoint à gauche et l'autre adjoint à droite, telles que la composition mène à des inégalités d'ordre bidirectionnelles (f(a) ≤ b si et seulement si a ≤ g(b)) ; cette correspondance relie des opérations de fermeture et des opérations de noyau et organise la dualité entre treillis et leurs images.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Pour des posets (P, ≤) et (Q, ≤), une connexion de Galois consiste en des applications f : P → Q et g : Q → P vérifiant f(p) ≤ q ⇔ p ≤ g(q). Équivalemment, f est l'adjoint à gauche de g et préserve les joints existants tandis que g préserve les rencontres, encodant une correspondance universelle entre images et antéimages.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

L'envoi d'un sous-ensemble A d'un groupe vers le sous-groupe engendré par A et l'envoi d'un sous-groupe H vers son ensemble sous-jacent forment une connexion de Galois entre le treillis des parties et le treillis des sous-groupes ; les opérations de fermeture et de cœur se retrouvent comme compositions g∘f et f∘g.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer comme connexion de Galois toute paire d'applications ordre-reverses ou supposer l'existence des deux adjoints sans vérifier l'inégalité bidirectionnelle conduit à une identification incorrecte des fermetures et à la perte de propriétés universelles.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une vraie connexion de Galois engendre des opérateurs de fermeture et de noyau canoniques (idempotents, monotones) et fournit des descriptions universelles : les adjoints à gauche préservent les colimites (joints), les adjoints à droite préservent les limites (rencontres), et l'on peut transférer des problèmes entre posets via l'adjonction.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser la connexion échange les adjoints gauche et droite et intervertit les rôles des joints et rencontres ; conceptuellement, cela produit la connexion de Galois duale où le comportement de fermeture devient comportement de noyau et vice versa.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux posets ou treillis munis d'applications monotones ; il ne requiert pas de structure algébrique sous-jacente comme les groupes mais exige que l'inégalité d'adjonction tienne globalement ; toute paire d'applications monotones n'est pas une connexion de Galois.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Le terme est en tension avec 'adjonction' en théorie des catégories : une connexion de Galois est un cas particulier d'une paire adjointe restreinte aux posets, il faut distinguer les conséquences spécifiques d'ordre (fermetures) des phénomènes adjoints plus généraux.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une connexion de Galois est l'adjonction d'ordre entre deux posets donnée par une application monotone à gauche et une à droite satisfaisant l'inégalité bidirectionnelle ; elle produit des opérateurs canoniques de fermeture et permet de transférer des constructions universelles entre contextes.