## [Bi-Interprétabilité](/fr/node/60144) Définition Une équivalence forte entre deux théories où chacune est interprétable dans l'autre et où les deux interprétations composées sont définissablement isomorphes à l'identité ; en pratique, les théories retrouvent la structure de l'autre à un isomorphisme définissable près. ## Principe Principe Nécessite une paire de traductions I : T→S et J : S→T telles que la composition J∘I interprète T d'une manière définissablement isomorphe à l'interprétation identité de T (et réciproquement pour I∘J), garantissant la récupérabilité mutuelle de la structure définissable et des propriétés méta‑théoriques. ## Démonstration Démonstration Si T est interprétée dans S par I et S dans T par J, et si l'on peut définir dans T l'isomorphisme attestant que J∘I agit comme l'identité sur les objets définissables de T, alors T et S sont bi‑interprétables ; cela survient fréquemment lorsque différentes formalismes présentent 'la même' structure mathématique. ## Mauvaise application Mauvaise application Qualifier de bi‑interprétables des théories simplement interprétables réciproquement sans vérifier que les compositions sont définissablement isomorphes aux identités ; confondre bi‑interprétabilité avec des équivalences plus faibles (conservativité mutuelle, équivalence de Morita) est courant. ## Conséquence Conséquence La bi‑interprétabilité implique un appariement serré des ensembles définissables, des groupes d'automorphismes et de nombreux invariants modèles‑théoriques ; elle entraîne souvent que les théories partagent les mêmes propriétés effectives et proof‑théoriques à traduction définissable près. ## Inversion Inversion La négation de la bi‑interprétabilité est l'asymétrie ordinaire de l'interprétabilité : deux théories peuvent s'interpréter mutuellement de façons non inversibles, de sorte que l'une code une structure supplémentaire non récupérable par l'autre. ## Limite Limite Définie pour des théories formelles disposant d'un cadre de définissabilité adapté ; exclut de simples équivalences catégoriques des catégories de modèles ou des coïncidences syntaxiques qui ne fournissent pas d'isomorphismes définissables pour les compositions d'interprétations. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre bi‑interprétabilité et équivalence définitionnelle ou catégorique : la bi‑interprétabilité est plus forte que bien des notions pragmatiques de 'même théorie' mais plus faible que l'identité syntaxique littérale, ce qui nourrit des débats sur l'identité théorique. ## Synthèse Synthèse La bi‑interprétabilité signifie que deux théories encodent exactement la même structure définissable de manière mutuellement récupérable : chacune interprète l'autre et les translations aller‑retour équivalent à l'identité définissable, établissant une équivalence robuste.