## [Indémontrabilité](/fr/node/60132) Définition Le statut d'une formule formelle par rapport à un système d'axiomes donné lorsqu'on ne peut dériver ni la formule ni sa négation à partir de ce système ; on parle couramment d'indépendance par rapport aux axiomes ou d'indémontrabilité dans la théorie choisie. ## Principe Principe La démontrabilité est relative à l'appareil déductif et aux axiomes : une formule est indémontrable dans une théorie précisément lorsqu'aucune dérivation finie à partir de ces axiomes ne la produit, et l'indépendance se démontre souvent en construisant des modèles où la formule est vraie et d'autres où elle est fausse. ## Démonstration Démonstration L'hypothèse du continu est indémontrable (indépendante) de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC) : on peut construire des modèles de ZFC où l'hypothèse est vraie et d'autres où elle est fausse, montrant qu'aucun des deux côtés n'est dérivable de ZFC seul. ## Mauvaise application Mauvaise application Interpréter l'indémontrabilité comme la preuve qu'une formule est fausse ou dépourvue de sens ; l'indémontrabilité ne reflète que la relation à une base axiomatique fixe, pas une vérité absolue ou un contenu sémantique hors de cette base. ## Conséquence Conséquence L'indémontrabilité incite à étendre le système d'axiomes, à adopter de nouveaux axiomes ou à accepter le pluralisme quant aux extensions à retenir ; elle oriente aussi l'étude métamathématique de la consistance relative et de la construction de modèles. ## Inversion Inversion Démontrabilité : la formule (ou sa négation) peut être dérivée des axiomes via les règles d'inférence admises, écartant toute indépendance vis-à-vis de ce système axiomatique. ## Limite Limite L'indémontrabilité se définit par rapport à une théorie, un langage et un système déductif choisis ; elle ne détermine pas en soi la vérité dans des modèles particuliers sans analyse sémantique ou modelthéorique complémentaire. ## Tension sémantique Tension sémantique Il existe une tension entre l'indémontrabilité proof-théorique et l'indécidabilité sémantique : une formule peut être indémontrable tout en étant vraie dans certains modèles et fausse dans d'autres, soulevant la question des critères d'adoption de nouveaux axiomes. ## Synthèse Synthèse L'indémontrabilité décrit l'indépendance d'une formule par rapport à une base axiomatique donnée ; c'est un phénomène relatif et sensible au modèle qui conduit à choisir entre l'extension des théories, le changement de langage ou l'acceptation de cadres mathématiques multiples.