##  [Énoncé de Gödel](/fr/node/60104) 

 Définition

Une phrase autoréférentielle G construite (via le lemme du point fixe) pour une théorie formelle donnée T qui affirme effectivement «G n'est pas démontrable dans T» ; son existence est centrale dans les preuves d'incomplétude car, sous des hypothèses naturelles, ni G ni sa négation ne sont démontrables dans T.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Utiliser le lemme du point fixe/diagonal pour produire une phrase qui désigne son propre statut de démontrabilité en encodant des notions syntaxiques dans l'arithmétique ; la phrase est conçue de sorte que la démonstrabilité de G dans T contredirait la consistance de T, produisant l'indécidabilité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une théorie T récursivement axiomatisée qui représente la démontrabilité, on construit une formule Prov_T(x) et on applique le lemme du point fixe pour obtenir G avec T ⊢ (G ↔ ¬Prov_T(⌜G⌝)). Si T est consistante, T ne peut pas prouver G ; si T est suffisamment bien comportée, elle ne peut pas non plus prouver ¬G, rendant G indécidable dans T.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre un énoncé de Gödel avec un paradoxe sémantique (par ex. le menteur) ou prétendre que toute phrase autoréférentielle est un énoncé de Gödel ; aussi appeler toute phrase indémontrable «l'énoncé de Gödel» sans préciser la théorie et le codage utilisés.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des exemples explicites d'énoncés indécidables dans la théorie et met en lumière l'écart entre démontrabilité syntaxique et vérité sémantique ; dans le modèle standard un tel énoncé de Gödel sera vrai chaque fois que la théorie est consistante.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La négation de l'énoncé de Gödel produit une phrase dont la démontrabilité dans T implique typiquement que T est inconsistante ; ainsi la preuve de ¬G à l'intérieur de T est un témoin d'inconsistance sous les hypothèses usuelles.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige que la théorie puisse représenter des notions syntaxiques et la démontrabilité ; différents codages et choix produisent des énoncés de Gödel non uniques, donc la construction dépend du formalisme choisi et n'est pas canonique au-delà d'une équivalence démontrable dans des méta-théories plus riches.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Se situe entre les notions de vérité sémantique, de démontrabilité syntaxique et d'autoréférence paradoxale : il ressemble à la phrase du menteur par la forme mais diffère car sa construction est arithmétisée et son indémontrabilité découle de la consistance plutôt que d'un paradoxe sémantique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un énoncé de Gödel est une construction arithmétisée autoréférentielle qui affirme sa propre non-démontrabilité dans une théorie donnée ; par diagonalisation il convertit le codage syntaxique en une phrase arithmétique indécidable explicite sous l'hypothèse de consistance de la théorie.