## [Plongement Élémentaire](/fr/node/60087) Définition Un homomorphisme injectif f : M → N entre structures du même langage du premier ordre tel que pour toute formule du premier ordre φ(x1,...,xn) et tout tuple a de M, M ⊨ φ(a) si et seulement si N ⊨ φ(f(a)) ; autrement dit f préserve et reflète toutes les vérités du premier ordre avec paramètres de M. ## Principe Principe L'élémentarité se caractérise par la conservation et la réflexion des formules du premier ordre : un plongement élémentaire identifie M à une sous-structure élémentaire de N, de sorte que M et son image satisfont exactement les mêmes propriétés du premier ordre avec paramètres provenant de M. ## Démonstration Démonstration La carte diagonale d'une structure M vers un ultrapouvoir suffisamment saturé de M est élémentaire ; inversement l'inclusion d'un sous-modèle élémentaire M ⊆ N est un plongement élémentaire, ce qui justifie le transfert de propriétés définissables entre M et N. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer comme élémentaire tout homomorphisme injectif ou tout plongement qui préserve les formules atomiques ou quantificateur-libres ; de telles applications peuvent ne pas préserver les formules existentielles ou universelles et échouer en élémentarité. ## Conséquence Conséquence Les plongements élémentaires permettent le transfert d'énoncés du premier ordre et la construction de chaînes élémentaires et d'extensions élémentaires ; ce sont les morphismes de la théorie des modèles qui préservent la structure du premier ordre et soutiennent les notions de saturation et de compacité. ## Inversion Inversion Un plongement non élémentaire (simple plongement) peut préserver certains faits structurels mais ne pas refléter les vérités du premier ordre ; l'inversion souligne la différence entre la préservation syntaxique des faits atomiques et la préservation sémantique de toutes les formules du premier ordre. ## Limite Limite L'élémentarité est une notion du premier ordre : elle exige une signature commune et concerne uniquement les formules du premier ordre ; elle ne garantit pas la préservation de propriétés infinitaires ou d'ordre supérieur ni d'invariants combinatoires hors du cadre du premier ordre. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre plongement élémentaire et équivalence élémentaire : deux structures peuvent être élémentairement équivalentes (même théorie) sans qu'il existe un plongement élémentaire entre elles ; l'élémentarité est plus forte que le partage de théorie mais plus faible que l'isomorphisme. ## Synthèse Synthèse Un plongement élémentaire est une application injective qui préserve et reflète toutes les vérités du premier ordre, identifiant la source à une sous-structure élémentaire de la cible et permettant le transfert cohérent de propriétés définissables et modélistes.